Συνάρτηση ...

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται η συνάρτηση $f:[0, 1] \rightarrow [0,1]$ για την οποία ισχύει

$\displaystyle{\left | f(x) - f(y) \right |\geq \left | x-y \right | \quad \text{\gr για κάθε} \;\;x , y \in [0, 1]}$
(α) Να δειχθεί ότι $\left | f(0) - f(1) \right | = 1$ .

(β) Να δειχθεί ότι είτε f(0)=0

και

είτε

και

.

(γ) Να δειχθεί ότι f(x)=x

ή

για κάθε $x \in [0, 1]$ .

ILIOPOULOS PANAGIOTIS · #2

(α) Έχουμε $0\leq f(0)\leq 1$ και $-1\leq -f(1)\leq 0$ οπότε $-1\leq f(0)-f(1)\leq 1$ $\Rightarrow \left | f(0)-f(1) \right |\leq 1$ .
Όμως για x=0 , y=1

η δοσμένη σχέση δίνει $\left | f(0)-f(1) \right |\geq 1$ και τελικά προκύπτει $\left | f(0)-f(1) \right |=1$

(β) Στην ανισότητα $-1\leq f(0)-f(1)\leq 1$ η αριστερή ισότητα ισχύει μόνο όταν f(0)=0

ΚΑΙ

ενώ η δεξιά ισότητα ισχύει μόνο όταν f(1)=0

ΚΑΙ

. Άρα από την ισότητα $\left | f(0)-f(1) \right |=1$ τεκμαίρεται ότι ΕΙΤΕ f(0)=0

KAI

ΕΙΤΕ

ΚΑΙ

(γ) 1η περίπτωση( f(0)=0, f(1)=1

):

Για

η δοσμένη σχέση δίνει ότι $\left | f(x) \right |\geq \left | x \right |\Rightarrow f(x)\geq x$ , διότι $f(x)\geq 0 , x\geq 0$ .

Για y=1

η δοσμένη σχέση δίνει ότι $\left | f(x)-1 \right |\geq \left | x-1 \right |\Rightarrow f(x)\leq x$ , διότι $f(x)\leq 1 , x\leq 1$ .

Άρα $f(x)=x , x\epsilon [0,1]$ .

2η περίπτωση( f(0)=1 , f(1)=0

).

Για

έχουμε $\left | f(x)-1 \right |\geq \left | x \right |\Rightarrow f(x)\leq 1-x$ .

Για y=1

έχουμε $\left | f(x) \right |\geq \left | x-1 \right |\Rightarrow f(x)\geq 1-x$ .

Άρα $f(x)=1-x , x\epsilon [0,1]$ .

Υ.Γ. : Δεν ζητείται από την εκφώνηση, αλλά μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι η f είναι συνάρτηση '1-1'.

Tolaso J Kos · #3

Ναι έχουμε δει κάτι γενικότερο εδώ.

#4

ILIOPOULOS PANAGIOTIS έγραψε: Τετ Σεπ 23, 2020 11:57 am Υ.Γ. : Δεν ζητείται από την εκφώνηση, αλλά μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι η f είναι συνάρτηση '1-1'.

.

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Σεπ 23, 2020 12:52 pm Ναι έχουμε δει κάτι γενικότερο εδώ.

Ας μήν κάνουμε τα εύκολα, δύσκολα. Το ζητούμενο από τον Παναγιώτη είναι τετριμμένο: Αν f(x)=f(y)

τότε $0=|f(x)-f(y)| \ge |x-y| \ge 0$ , οπότε |x-y|=0

.

Συνάρτηση ...

Συνάρτηση ...

Re: Συνάρτηση ...

Re: Συνάρτηση ...

Re: Συνάρτηση ...

Μέλη σε σύνδεση