Συνάρτηση ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Πλέον δεν είναι κατάλληλη για το φάκελο της Γ'.

Δίδεται η συνάρτηση
$\displaystyle{f(x) = \int_{x}^{2x} \frac{\mathrm{d}t}{t - \ln t}}$
(α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

(β) Να δειχθεί ότι η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $[2, +\infty)$ .

(γ) Να δειχθεί ότι για κάθε x>0

είναι $f(x) \leq x$ .

(δ) Να δειχθεί ότι για κάθε $x \geq 1$ είναι $f(x) \geq \ln 2$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Τρί Σεπ 22, 2020 3:42 pm Πλέον δεν είναι κατάλληλη για το φάκελο της Γ'.

Δίδεται η συνάρτηση
$\displaystyle{f(x) = \int_{x}^{2x} \frac{\mathrm{d}t}{t - \ln t}}$
(α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

(β) Να δειχθεί ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο $[2, +\infty)$ .

(γ) Να δειχθεί ότι για κάθε είναι $f(x) \leq x$ .

(δ) Να δειχθεί ότι για κάθε $x \geq 1$ είναι $f(x) \geq \ln 2$ .

Θα γίνει πολλαπλή χρήση της $\ln x \le x-1$ από όπου, ειδικά, ο παρονομαστής είναι $\ge 1 >0\,(*)$ .

α) Αφού το πεδίο ορισμού του λογαρίθμου μέσα στο ολοκλήρωμα είναι το $(0, \infty)$ , έπεται ότι πρέπει και x>0

. Από εκεί και πέρα η συνάρτηση δεν έχει άλλο περιορισμό.

β) Παραγωγίζοντας $\displaystyle{f'(x)= \frac{1}{2x - \ln (2x)}} - \frac{1}{x - \ln (x)} = \frac{\ln 2 - x}{(2x - \ln (2x)) (x-\ln x)} }$ . O παρονομαστής είναι θετικός
από την (*)

, οπότε η $f'(x) \le 0$ στο $[\ln 2 , \infty )$ και άρα η

είναι φθίνουσα εκεί (η εκφώνηση θέλει διόρθωση τυπογραφικού).

γ) Από την (*)

έχουμε $f(x) \le \int _{x}^{2x} 1 \,dt = x$

δ) Αφού για $t\ge 1$ είναι $\dfrac{1}{t - \ln t}}\ge \dfrac {1}{t}$ (ισοδυναμεί με το $\ln t \ge 0$ ) έχουμε

$\displaystyle{f(x) = \int_{x}^{2x} \frac{\mathrm{d}t}{t - \ln t}} \ge \int_{x}^{2x} \frac{dt}{t } = \ln 2$

Συνάρτηση ολοκλήρωμα

Συνάρτηση ολοκλήρωμα

Re: Συνάρτηση ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση