Να βρεθεί

konkyr · #1

Να βρεθεί το όριο:

$\lim_{x->0}\int_{x}^{2x}{\frac{\sigma \upsilon \nu 2t}{t}dt}$

mathxl · #2

Για 0<χ<π/8 είναι
$\displaystyle{x < t < 2x \Rightarrow 2x < 2t < 4x \Rightarrow \sigma \upsilon \nu 4x < \sigma \upsilon \nu 2t < \sigma \upsilon \nu 2x \Rightarrow }$
$\displaystyle{\frac{{\sigma \upsilon \nu 4x}}{t} < \frac{{\sigma \upsilon \nu 2t}}{t} < \frac{{\sigma \upsilon \nu 4x}}{t} \Rightarrow \ln 2 \cdot \sigma \upsilon \nu 4x < \int_x^{2x} {\frac{{\sigma \upsilon \nu 2t}}{t}dt} < \ln 2 \cdot \sigma \upsilon \nu 2x}$
Με ΚΠ $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x - > {0^ + }} \int_x^{2x} {\frac{{\sigma \upsilon \nu 2t}}{t}dt} = \ln 2}$

ια -π/8<χ<0
όμοια βγαίνει $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x - > {0^ - }} \int_x^{2x} {\frac{{\sigma \upsilon \nu 2t}}{t}dt} = \ln 2}$
άρα το ζητούμενο 'οριο ισούται με ln2

Ωmega Man · #3

Λίγο διαφορετικά.
Δεδομένου ότι $\displaystyle{\bf Ci(x)=\gamma+\log(x)+\int_{0}^{x}\frac{\cos(t)-1}{t}\;dt}$ με κατάλληλες αλλαγές παίρνουμε,
$\displaystyle{\bf \lim_{x\rightarrow 0}\int_{x}^{2x}\frac{\cos(2t)}{t}\;dt=\lim_{x\rightarrow 0}\left(Ci(4x)-Ci(2x)\right)=\lim_{x\rightarrow 0}\left(\log(4)-\log(2)-3x^2+\frac{5x^4}{2}+\mathcal{O}(x^6)\right)=\log(4)-\log(2)=\log(2)}$ .
Αξίζει να δούμε και το γράφημα της $\displaystyle{\bf\int_{x}^{2x}\frac{\cos(2t)}{t}\;dt}$ το οποίο παρατίθεται στο παρακάτω σχήμα.

Υ.Γ.
$\displaystyle{\rule{70pt}{3pt}}$
$\displaystyle{\dagger}$ Εννοείται ότι η λύση του Βασίλη είναι καλύτερη.... την αναφέρω για εγκυκλοπαιδικούς λόγους.

$\displaystyle{\ddagger}$ $\displaystyle{\bf Ci(x)}$ σημαίνει cosine integral και $\gamma$ είναι η σταθερά του Euler.

pavlos · #4

κυριε βασιλη γιατι δεν βαζετε τωρα πλεον, καποια απο αυτες τις ενδιαφερουσες ασκησεις που βαζατε το πασχα για ολους εμας της β λυκειου????

Κατανοω οτι επικειται περιοδος πανελληνιων αλλα δεν νομιζω οτι ειναι μονο οι της γ λυκειου αυτοι που επιθυμουν να ασχοληθουν με ομορφες και ποιοτικες ασκησεις.......
Παυλος

konkyr · #5

Πολύ ωραία.Δίνω και τη λύση που είδα:

$\lim_{x->0}\int_{x}^{2x}{\frac{\sigma \upsilon \nu 2t}{t}dt}=$ $\lim_{x->0}\int_{x}^{2x}{\frac{1-2\eta \mu ^{2}t}{t}dt}=ln2-\int_{x}^{2x}{\frac{\eta \mu ^{2}t}{t}dt}$ .

Για το 2ο ολοκλήρωμα έχουμε:

$\left|\int_{x}^{2x}{\frac{\eta \mu ^{2}t}{t}dt} \right|\leq \left|\int_{x}^{2x}{\frac{\left|\eta \mu t \right|^{2}}{\left|t \right|^}}} \right|\leq \left|\int_{x}^{2x}{1dt} \right|=\left|x \right|$ γιατί :

$\frac{\left|\eta \mu ^{2}t \right|}{\left|t \right|}=\left|\frac{\eta \mu t}{t} \right|\left|\eta \mu t \right|\leq 1$ .Άρα παίρνοντας όριο στο 0 και με κριτήριο παρεμβολής θα είναι:

$\lim_{x->0}\int_{x}^{2x}{\frac{\eta \mu ^{2}t}{t}dt}=0$ άρα το αρχικό όριο είναι ίσο με ln2

Να βρεθεί

Να βρεθεί

Re: Να βρεθεί

Re: Να βρεθεί

Re: Να βρεθεί

Re: Να βρεθεί

Μέλη σε σύνδεση