JBMO Shortlist 2019 - Γεωμετρία

#1

Η παρούσα ανάρτηση θα ανανεωθεί αργότερα και με τα υπόλοιπα προβλήματα.

G1. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ABC

με $\hat{A} = 90^{\circ}$ και $\hat{B} = 30^{\circ}$ . Η κάθετος στο μέσο

του

τέμνει τη διχοτόμο

της γωνίας $\hat{B}$ στο σημείο

. Η μεσοκάθετος της

τέμνει την

στο

. Να δειχθεί ότι η

είναι κάθετη στην

.

(Προτάθηκε από την Ελλάδα)

G2. Έστω τρίγωνο ABC

εγγεγραμμένο σε κύκλο $\omega$ . Έστω $\ell_B$ και $\ell_C$ δύο παράλληλες ευθείες οι οποίες περνούν από τα

και

αντίστοιχα. Οι ευθείες $\ell_B$ και $\ell_C$ τέμνουν τον $\omega$ για δεύτερη φορά στα σημεία

και

αντίστοιχα, με το

να ανήκει στο τόξο

, και το

στο τόξο

. Υποθέτουμε ότι η

τέμνει την $\ell_C$ στο

, και η

τέμνει την $\ell_B$ στο

. Αν

και

τα περίκεντρα των τριγώνων ABC

,

και

αντίστοιχα, και

το περίκεντρο του τριγώνου OO_1 O_2

, να αποδειχθεί ότι η

είναι παράλληλη στις $\ell_B$ και $\ell_C$ .

(Προτάθηκε από τα Σκόπια)

G3. Έστω τρίγωνο ABC

με έγκεντρο

. Έστω σημεία

και

στα τμήματα

και

αντίστοιχα, τέτοια ώστε CD=CE

. Έστω σημείο

στο τμήμα

. Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ABEF

είναι περιγράψιμο αν και μόνο αν το τετράπλευρο DIEF

είναι εγγράψιμο.

(Προτάθηκε από την Αλβανία)

G4. Έστω τρίγωνο ABC

με $AB\neq AC$ και έστω ότι η μεσοκάθετος της

τέμνει τις

και

στα σημεία

και

, αντίστοιχα. Αν

το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC

και

τα μέσα των τμημάτων

και

αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι οι

και

τέμνονται πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC

.

(Προτάθηκε από τη Σερβία)

G5. Έστω σημείο

στο εσωτερικό του τριγώνου ABC

. Οι ευθείες

,

και

τέμνουν ξανά τους περιγεγραμμένους κύκλους των τριγώνων PBC

,

, και

στα

,

και

αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι το

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου [unparseable or potentially dangerous latex formula] αν και μόνο αν το

είναι το έγκεντρο του τριγώνου ABC

.

(Προτάθηκε από τη Ρουμανία)

#2

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 11, 2020 6:29 pm
Η παρούσα ανάρτηση θα ανανεωθεί αργότερα και με τα υπόλοιπα προβλήματα.

G1 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο με $\hat{A} = 90^{\circ}$ και $\hat{B} = 30^{\circ}$ . Η κάθετος στο μέσο του τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας $\hat{B}$ στο σημείο . Η μεσοκάθετος της τέμνει την στο . Να δειχθεί ότι η είναι κάθετη στην .

(Προτάθηκε από την Ελλάδα)

Μια λύση αλλά ίσως όχι η πιο ενδεδειγμένη .

: JBMO_Sxortlist_γεωμετρία.png (39.26 KiB) Προβλήθηκε 1346 φορές

Ας είναι

το σημείο τομής των ευθειών $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ME$ και

το σημείο τομής των $ME\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CA$ .

Από το

θα διέρχεται και η μεσοκάθετός ,

του

γιατί το τρίγωνο SEK

είναι ισοσκελές ( $\widehat {SKB} = \widehat {SHK} = 60^\circ + 15^\circ = 75^\circ$ )

Επειδή το $\vartriangle AMC$ είναι ισόπλευρο θα είναι $\vartriangle ABC = \vartriangle MSC$ , επίσης το

είναι ορθόκεντρο του $\vartriangle SBC$ ( που προφανώς είναι ισόπλευρο )

Το τετράπλευρο SAMB

είναι εγγράψιμο γιατί τα $S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ βλέπουν υπό γωνία $30^\circ$ την

.

Το $\vartriangle NSB$ είναι ισοσκελές ορθογώνιο και το $\vartriangle DEK$ ισοσκελές , με ίσες τις γωνίες $\widehat {{\theta _{}}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {{\omega _{}}}$ , λόγω του πιο πάνω εγγράψιμου,.

Άρα θα είναι όμοια οπότε και το $\vartriangle DEK$ ισοσκελές και ορθογώνιο στο

.

#3

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 11, 2020 7:58 pm

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 11, 2020 6:29 pm
Η παρούσα ανάρτηση θα ανανεωθεί αργότερα και με τα υπόλοιπα προβλήματα.

G1 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο με $\hat{A} = 90^{\circ}$ και $\hat{B} = 30^{\circ}$ . Η κάθετος στο μέσο του τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας $\hat{B}$ στο σημείο . Η μεσοκάθετος της τέμνει την στο . Να δειχθεί ότι η είναι κάθετη στην .

(Προτάθηκε από την Ελλάδα)
Μια λύση αλλά ίσως όχι η πιο ενδεδειγμένη .

Η επίσημη λύση που έστειλε η Ελλάδα ήταν διαφορετική. Είχαμε δώσει δυο εναλλακτικές λύσεις που χρησιμοποιούσαν το σημείο

αλλά όχι την εγγραψιμότητα του SAMB

.

Σημείωση: Πρόσθεσα και την

.

#4

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 11, 2020 6:29 pm
Η παρούσα ανάρτηση θα ανανεωθεί αργότερα και με τα υπόλοιπα προβλήματα.

G1. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο με $\hat{A} = 90^{\circ}$ και $\hat{B} = 30^{\circ}$ . Η κάθετος στο μέσο του τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας $\hat{B}$ στο σημείο . Η μεσοκάθετος της τέμνει την στο . Να δειχθεί ότι η είναι κάθετη στην .

(Προτάθηκε από την Ελλάδα)

Η μεσοκάθετος του

τέμνει τις BK, BC

στα

αντίστοιχα και έστω ότι οι PD, CA

τέμνονται στο

Οι

είναι κάθετες και διχοτομούνται, άρα το DEPK

είναι ρόμβος.

: JBMO shortlist 2019.png (18.93 KiB) Προβλήθηκε 1261 φορές

Προφανώς, $\displaystyle SE = SK \Leftrightarrow E\widehat SN = N\widehat SK = 15^\circ.$ Αλλά, $\displaystyle N\widehat PM = 75^\circ,$ οπότε τα M, E, S

είναι συνευθειακά.

Τα ορθογώνια τρίγωνα BAC, AMC

είναι ίσα, άρα και BAK, SMP,

οπότε

και το

είναι ισόπλευρο.

Τέλος από την ισότητα των ισοσκελών SEK, BDP

προκύπτει ότι EK=DP

άρα το

είναι τετράγωνο και $\boxed{E\widehat DK=90^\circ}$

#5

Επαναφορά με παράλληλο ανέβασμα και της G3

#6

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 11, 2020 6:29 pm
Η παρούσα ανάρτηση θα ανανεωθεί αργότερα και με τα υπόλοιπα προβλήματα.

G3. Έστω τρίγωνο με έγκεντρο . Έστω σημεία και στα τμήματα και αντίστοιχα, τέτοια ώστε . Έστω σημείο στο τμήμα . Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο είναι περιγράψιμο αν και μόνο αν το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

(Προτάθηκε από την Αλβανία)

Προφανώς $\boxed{ID = IE \Leftrightarrow I\widehat ED = I\widehat DE}$ (1)

: G3-2019.png (18.81 KiB) Προβλήθηκε 1146 φορές

Έστω ότι το DIEF

είναι εγγράψιμο. Επειδή οι AI, BI

είναι διχοτόμοι των $\widehat A, \widehat B$ αρκεί να δείξω ότι η

διχοτομεί την

$D\widehat FE$ και η

την $B\widehat EF.$ Πράγματι, το πρώτο ισχύει από την (1)

ενώ για το δεύτερο είναι $I\widehat EB = I\widehat DA = I\widehat EF.$

Ομοίως για το αντίστροφο (ακολουθώντας αντίστροφη πορεία).

#7

Ανέβηκαν οι G4 (πρόβλημα 3 του διαγωνισμού) και η G5.

JBMO Shortlist 2019 - Γεωμετρία

JBMO Shortlist 2019 - Γεωμετρία

Re: JBMO Shortlist 2019 - Γεωμετρία

Re: JBMO Shortlist 2019 - Γεωμετρία

Re: JBMO Shortlist 2019 - Γεωμετρία

Re: JBMO Shortlist 2019 - Γεωμετρία

Re: JBMO Shortlist 2019 - Γεωμετρία

Re: JBMO Shortlist 2019 - Γεωμετρία

Μέλη σε σύνδεση