Πόσοι διαιρέτες;

#1

Γράφουμε όλους τους διαιρέτες ενός δεδομένου αριθμού

(συμπεριλαμβανομένου του

και του

) κατά σειρά μεγέθους. Το γινόμενο
του όγδοου στην σειρά επί τον δέκατο τρίτο στην σειρά ισούται με

. Πόσους διαιρέτες έχει ο

;

(Ας την αφήσουμε

ώρες στους μαθητές μας. Είναι κατάλληλη για μαθητές Γυμνασίου ή για μαθητές των μεγάλων τάξεων του Δημοτικού).

aggeliki260807 · #2

εγώ βρήκα 5 περιμένω όμως να δω αν είναι σωστό για να δημοσιεύσω αναλυτικά την λύση μου

#3

aggeliki260807 έγραψε: Πέμ Οκτ 29, 2020 11:43 am εγώ βρήκα 5 περιμένω όμως να δω αν είναι σωστό για να δημοσιεύσω αναλυτικά την λύση μου

Η εκφώνηση μιλά για τον όγδοο και δέκατο τρίτο διαιρέτη. Άρα σίγουρα υπάρχουν τουλάχιστον 13 διαιρέτες. Δες λοιπόν ξανά τη λύση σου.

kfd · #4

Aν οι διαιρέτες μπουν σε αύξουσα διάταξη τα ζεύγη 1ου-τελευταίου, 2ου-προτελευταίου κλπ έχουν γινόμενο Ν. Άρα οι διαιρέτες είναι 20 (8+13=1+20).

Manolis Petrakis · #5

Αναλυτικότερα
Έστω a_1,a_2,...,a_k

οι διαιρέτες του

με $1=a_1<a_2<...<a_{k-1}<a_k=N$
Είναι από την υπόθεση: $a_8a_{13}=N$
Είναι $N=a_1a_k=a_2a_{k-1}=a_3a_{k-2}=...=a_ia_{k-i+1}$ για κάθε i=1,2,3,...,k

Έτσι $a_8a_{13}=N\Rightarrow$
$i=8, k-i+1=13\Leftrightarrow i=8, k=20$
Άρα ο

έχει

διαιρέτες