Υπολογισμός ολοκληρώματος

#1

Καλησπέρα!

Θέτω ένα πρόβλημα εδώ, για αποσυμφόρηση των σελίδων που είναι σχετικές με τις εξετάσεις.

Δίνεται το πολυώνυμο:

$\displaystyle{ P(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x + \frac{1}{4} }$

χ πραγματικός.

Ορίζουμε:

$\displaystyle{ P^{\left[ 1 \right]} (x) = P(x) }$

και για n μεγαλύτερο ή ίσο του ένα:

$\displaystyle{ P^{\left[ {n + 1} \right]} (x) = P^{\left[ n \right]} (P(x)) }$

(n φυσικός)

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{ \int\limits_0^1 {P^{\left[ {2010} \right]} } (x)dx }$

k-ser · #2

chris_gatos έγραψε:Δίνεται το πολυώνυμο:

$\displaystyle{ P(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x + \frac{1}{4} }$
χ πραγματικός.

Χρήστο, καλή άσκηση.

Μια απάντηση:

Βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης και παρατηρούμε ότι $\displaystyle P^{\prime}(1-x)=P^{\prime}(x)$ και έτσι εύκολα παίρνουμε: P(1-x)=1-P(x)

Αποδεικνύουμε επαγωγικά ότι: $\displaystyle P^{[n]}(1-x)=1-P^{[n]}(x) \color{red} (1)$
αφού για x:P(x)

είναι
$\displaystyle P^{[n]}(1-P(x))=1-P^{[n]}(P(x))\Rightarrow P^{[n]}(P(1-x))=1-P^{[n+1]}(x)\Rightarrow P^{[n+1]}(1-x)=1-P^{[n+1]}(x)$ .

Στο ολοκλήρωμα τώρα, θέτοντας x:1-x

και με τη βοήθεια της $\color{red} (1)$ , προκύπτει εύκολα ότι αυτό θα είναι ίσο με $\displaystyle \frac{1}{2}$ .

#3

Και καλή και δύσκολη!

Είναι απο τα Harvard-Mit Tournaments. Έχουν εξαιρετικές ασκήσεις διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού και όχι μόνο...

Ευχαριστώ Κώστα για την ενασχόληση και τη λύση.

Υπολογισμός ολοκληρώματος

Υπολογισμός ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός ολοκληρώματος

Μέλη σε σύνδεση