Αθροίσματα από άσσους

#1

Να βρεθεί ο μικρότερος φυσικός n>1000

για τον οποίο ο αριθμός $\displaystyle{1+11+111+...+ \underset{n}{\underbrace {1111...11}} }$ είναι πολλαπλάσιο του 101

.

Μου την έστειλε φίλος από Ρουμανία. Μου άρεσε και την μοιράζομαι μαζί σας. Δεν ξέρω περισσότερα για την προέλευσή της.

Ορέστης Λιγνός · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 2:59 pm Να βρεθεί ο μικρότερος φυσικός για τον οποίο ο αριθμός $\displaystyle{1+11+111+...+ \underset{n}{\underbrace {1111...11}} }$ είναι πολλαπλάσιο του .

Μου την έστειλε φίλος από Ρουμανία. Μου άρεσε και την μοιράζομαι μαζί σας. Δεν ξέρω περισσότερα για την προέλευσή της.

Καλημέρα κ.Μιχάλη.

Για κάθε

είναι $\underset{k}{\underbrace {1111...11}} }=\dfrac{10^k-1}{9}$ , επομένως $Α=\displaystyle{1+11+111+...+ \underset{n}{\underbrace {1111...11}} } = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{10^i-1}{9}=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} 10^i-n}{9}$ .

Όμως, το άθροισμα $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} 10^i$ είναι άθροισμα

όρων γεωμετρικής προόδου (με a_1=10

και $\lambda=10$ ), συνεπώς $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} 10^i=\dfrac{10(10^n-1)}{9}$ .

Τελικά, $A=\dfrac{10^{n+1}-9n-10}{81}$ . Για να ισχύει $101 \mid A$ , πρέπει $101 \mid (10^{n+1}-9n-10)$ .
Επειδή $\rm ord_{101}(10)=4$ , διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

Περίπτωση 1: $n \equiv 0 \pmod 4$ , οπότε $10^{n} \equiv 1 \pmod {101}$ , συνεπώς $10^{n+1} \equiv 10 \pmod {101}$ , που σημαίνει ότι $10^{n+1}-9n-10 \equiv -9n \pmod {101} \Rightarrow 101 \mid 9n$ , δηλαδή $101 \mid n$ και $4 \mid n$ , άρα η ελάχιστη τιμή του n>1000

είναι $\boxed{n_{\rm min}=1212}$ .

Περίπτωση 2: $n \equiv 1 \pmod 4$ , οπότε $10^{n-1} \equiv 1 \pmod {101}$ , συνεπώς $10^{n+1} \equiv 100 \pmod {101}$ , που σημαίνει ότι $10^{n+1}-9n-10 \equiv 90-9n \pmod {101} \Rightarrow 101 \mid 9(n-10) \Rightarrow 101 \mid n-10$ , δηλαδή $101 \mid (n-10)$ και $4 \mid (n-1)$ , άρα η ελάχιστη τιμή του n>1000

είναι $\boxed{n_{\rm min}=1121}$ .

Περίπτωση 3: $n \equiv 2 \pmod 4$ , οπότε $10^{n-2} \equiv 1 \pmod {101}$ , συνεπώς $10^{n+1} \equiv 1000 \pmod {101}$ , που σημαίνει ότι $10^{n+1}-9n-10 \equiv 990-9n \pmod {101} \Rightarrow 101 \mid 9(n-110) \Rightarrow 101 \mid n-9$ , δηλαδή $101 \mid (n-9)$ και $4 \mid (n-2)$ , άρα η ελάχιστη τιμή του n>1000

είναι $\boxed{n_{\rm min}=1322}$ .

Περίπτωση 4: $n \equiv 3 \pmod 4$ , οπότε $10^{n-3} \equiv 1 \pmod {101}$ , συνεπώς $10^{n+1} \equiv 10000 \equiv 1 \pmod {101}$ , που σημαίνει ότι $10^{n+1}-9n-10 \equiv -9-9n \pmod {101} \Rightarrow 101 \mid 9(n+1) \Rightarrow 101 \mid n+1$ , δηλαδή $101 \mid (n+1)$ και $4 \mid n$ , άρα η ελάχιστη τιμή του n>1000

είναι $\boxed{n_{\rm min}=1312}$ .

Συνεπώς, έχοντας εξαντλήσει όλες τις πιθανές περιπτώσεις, έχουμε ότι η ελάχιστη τιμή του

είναι $n_{\rm min}=1121$ .

#3

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 2:59 pm ...

Μου την έστειλε φίλος από Ρουμανία. Μου άρεσε και την μοιράζομαι μαζί σας. Δεν ξέρω περισσότερα για την προέλευσή της.

Καλησπέρα σας!

Πρόκειται για το πρόβλημα Ε:15426 Clasa a VI-a του Gazeta Matematica, Seria B, No. 10/2018, σελ. 498 με λύση στο No. 4/2019, σελ. 196.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#5

achilleas έγραψε: Κυρ Νοέμ 15, 2020 1:07 pm
Πρόκειται για το πρόβλημα Ε:15426 Clasa a VI-a του Gazeta Matematica, Seria B, No. 10/2018, σελ. 498 με λύση στο No. 4/2019, σελ. 196.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αχιλλέα, είσαι τρομερός. Ξέρεις την πηγή των ασκήσεων από την στιγμή που... αρχίζει να δακτυλογραφεί κάποιος την εκφώνηση.

Τι λύση έχει το Gazeta Matematica, αν φυσικά την δημοσίευσε ήδη; Η δική μου λύση είναι στο ίδιο μήκος κύματος με του Ορέστη.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Νοέμ 15, 2020 1:18 pm
achilleas έγραψε: Κυρ Νοέμ 15, 2020 1:07 pm
Πρόκειται για το πρόβλημα Ε:15426 Clasa a VI-a του Gazeta Matematica, Seria B, No. 10/2018, σελ. 498 με λύση στο No. 4/2019, σελ. 196.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Αχιλλέα, είσαι τρομερός. Ξέρεις την πηγή των ασκήσεων από την στιγμή που... αρχίζει να δακτυλογραφεί κάποιος την εκφώνηση.

Τι λύση έχει το Gazeta Matematica, αν φυσικά την δημοσίευσε ήδη; Η δική μου λύση είναι στο ίδιο μήκος κύματος με του Ορέστη.

Καλησπέρα, κ. Μιχάλη,

Έτυχε να την έχω δει, οπότε περίμενα μέχρι να βάλει κάποιος λύση πριν προσθέσω το παραπάνω σχόλιο.

Η λύση που έχει δημοσιευτεί κάνει το εξής:

Παρατηρεί ότι το άθροισμα 1+11+111+1111

αφήνει υπόλοιπο

κατά τη διαίρεση του με το 101

. Ομοίως και το άθροισμα των επόμενων τεσσάρων όρων του αθροίσματος 11111+111111+1111111+11111111

κ.ο.κ.

Ονομάζει

το δοθέν άθροισμα, και εξετάζει τις περιπτώσεις n=4k

,

και

Στην 1η περίπτωση, για παράδειγμα, βγάζει ότι το γινόμενο 22k

πρέπει να διαιρείται με το 101

, κι αφού $k\geq 250$ , συμπεραίνει ότι k=303

και

.

Ομοίως αντιμετωπίζει και τις άλλες τρεις περιπτώσεις:

Στην 2η περίπτωση βγάζει ότι το άθροισμα 22k+1

πρέπει να διαιρείται με το 101

, κι αφού $k\geq 250$ , συμπεραίνει ότι k=381

λαμβάνοντας μεγαλύτερη τιμή για το

από

. Εδώ φυσικά κάνει λάθος(!), αφού πρέπει k=280

και

.

Στην 3η περίπτωση βγάζει ότι το άθροισμα 22k+12

πρέπει να διαιρείται με το 101

, κι αφού $k\geq 250$ , συμπεραίνει ότι k=330

λαμβάνοντας μεγαλύτερη τιμή για το

από

.

Στην 4η περίπτωση βγάζει ότι το άθροισμα 22k+22

πρέπει να διαιρείται με το 101

, κι αφού $k\geq 249$ , συμπεραίνει ότι k=302

και

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#7

achilleas έγραψε: Κυρ Νοέμ 15, 2020 1:27 pm
Η λύση που έχει δημοσιευτεί κάνει το εξής:

Παρατηρεί ότι το άθροισμα αφήνει υπόλοιπο κατά τη διαίρεση του με το . Ομοίως και το άθροισμα των επόμενων τεσσάρων όρων του αθροίσματος κ.ο.κ.

Με την καλησπέρα μου στους εκλεκτούς της συζήτησης, να σχολιάσω απλά ότι το παραπάνω έχει να κάνει με αυτό που γράφει ο Ορέστης ότι το order είναι 4. Βέβαια, αν δεν ξέρει κάποιος για order, είναι πολύ δύσκολο να εργαστεί όπως παραπάνω.

Τσιαλας Νικολαος · #8

Σιλουανέ στην Ρουμανία παίζει να ξέρουν για τα order από το δημοτικό!!

Πέρα από την πλάκα όλες οι λυσεις είναι υπέροχες! Τέτοια παρόμοια προβλήματα τυγχάνει να έχω από 2 ρουμάνικα βιβλία που είχα την χαρά να μου αποστείλει ως δώρο ο κύριος Ιωάννου! Θα ήταν ωραίο κάποιος να τα μεταφράσει όλα αλλά είναι δύσκολο

Αθροίσματα από άσσους

Αθροίσματα από άσσους

Re: Αθροίσματα από άσσους

Re: Αθροίσματα από άσσους

Re: Αθροίσματα από άσσους

Re: Αθροίσματα από άσσους

Re: Αθροίσματα από άσσους

Re: Αθροίσματα από άσσους

Re: Αθροίσματα από άσσους

Μέλη σε σύνδεση