Ανισοϊσότητα

KARKAR · #1

$\bigstar$ Μια ωραία ανισοϊσότητα : Για οποιουσδήποτε θετικούς : x,y

ισχύει : $\ell n\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\geq 1$ .

Την "ανακάλυψα" , λύνοντας την άσκηση που ανέβασε ο Λάμπρος , εδώ .

Tolaso J Kos · #2

KARKAR έγραψε: Τετ Ιαν 06, 2021 10:05 pm $\bigstar$ Μια ωραία ανισοϊσότητα : Για οποιουσδήποτε θετικούς : ισχύει : $\ell n\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\geq 1$ .

Την "ανακάλυψα" , λύνοντας την άσκηση που ανέβασε ο Λάμπρος , εδώ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ με $f(z) =\ln z + \frac{1}{z}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ με παράγωγο

$\displaystyle{f'(z) = \frac{1}{z} - \frac{1}{z^2} = \frac{z-1}{z^2}}$
Είναι $\displaystyle{f'(z) \geq 0 \Leftrightarrow z \geq 1 }$ άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[1, +\infty)$ και γνησίως φθίνουσα στο (0, 1]

. Συνεπώς , η

παρουσιάζει στο x_0=1

ολικό ελάχιστο. Άρα $f(z) \geq 1$ . Τέλος, για $z=\frac{x}{y}$ έχουμε

$\displaystyle{\boxed{\ln \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 1}}$
Q.E.D

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Ιαν 06, 2021 10:05 pm $\bigstar$ Μια ωραία ανισοϊσότητα : Για οποιουσδήποτε θετικούς : ισχύει : $\ell n\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\geq 1$ .

Την "ανακάλυψα" , λύνοντας την άσκηση που ανέβασε ο Λάμπρος , εδώ .

Μα είναι γνωστή. Συνήθως την βλέπουμε στην μορφή $t-1 \ge \ln t$ . Βάλε τώρα $t= \dfrac {x}{y}$ και θα το δεις αμέσως, αλλά μην ξεχάσεις στην πορεία να πεις ότι $\ell n\dfrac{x}{y}= - \ell n\dfrac{y}{x}$ .

Λευτέρης Παπανικολάου · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Ιαν 06, 2021 10:49 pm
KARKAR έγραψε: Τετ Ιαν 06, 2021 10:05 pm $\bigstar$ Μια ωραία ανισοϊσότητα : Για οποιουσδήποτε θετικούς : ισχύει : $\ell n\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\geq 1$ .

Την "ανακάλυψα" , λύνοντας την άσκηση που ανέβασε ο Λάμπρος , εδώ .
Μα είναι γνωστή. Συνήθως την βλέπουμε στην μορφή $t-1 \ge \ln t$ . Βάλε τώρα $t= \dfrac {x}{y}$ και θα το δεις αμέσως, αλλά μην ξεχάσεις στην πορεία να πεις ότι $\ell n\dfrac{x}{y}= - \ell n\dfrac{y}{x}$ .

Ακριβώς κύριε Λάμπρου, αυτό σκέφτηκα κι εγώ. Ωραίο θέμα πάντως, όπως όλα τα θέματα του αγαπητού συναδέλφου...

Ανισοϊσότητα

Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Re: Ανισοϊσότητα

Μέλη σε σύνδεση