ANIΣΟΤΗΤΑ

#1

$\displaystyle{h:[a,,b]\to R}$ η $\displaystyle{h}$ είναι συνεχής, γνήσια μονότονη και έχει θετικό μέγιστο .Να δείξετε ότι
$lim_{x\to +\infty} \int_{a}^{b}h(t)e^{xh(t)}dt=+\infty$

#2

R BORIS έγραψε: Τρί Φεβ 02, 2021 4:56 pm $\displaystyle{h:[a,,b]\to R}$ η $\displaystyle{h}$ είναι συνεχής, γνήσια μονότονη και έχει θετικό μέγιστο .Να δείξετε ότι
$lim_{x\to +\infty} \int_{a}^{b}h(t)e^{xh(t)}dt=+\infty$

Έστω

γνήσια φθίνουσα (όμοια για γνήσια αύξουσα), οπότε το μέγιστο είναι στο

με

, και το ελάχιστο στο

. Διακρίνουμε περιπτώσεις:

α) Το ελάχιστο $h(b) \ge 0$ (δηλαδή όλες οι τιμές της συνάρτησης είναι $\ge 0$ ) και μάλιστα γνήσια θετικές εκτός ίσως στο

). Τότε από την μονοτονία και για $c= \frac {a+b}{2}$ έχουμε

$\displaystyle{\int_{a}^{b}h(t)e^{xh(t)}dt\ge \int_{a}^{c}h(t)e^{xh(t)}dt \ge \int_{a}^{c}h\left (c\right )e^{xh\left (c\right )}dt = h \left (c\right )e^{xh\left (c\right )} (c-a) \to \infty}$ καθώς $x\to \infty$ (διότι h(c) >0

) , όπως θέλαμε.

b) Το ελάχιστο $h(b) \ge 0$ , δηλαδή

παίρνει και αρνητικές τιμές. Έστω

η (μοναδική) ρίζα της

. Τότε αφού είναι αρνητική μετά το

έχουμε $\displaystyle{h(t) e^{xh(t)} \ge h(t)e^0 }$ (=ανεξάρτητο του

) και άρα $\displaystyle{\int _c^b h(t) e^{xh(t)}dt \ge \int _c^b h(t) dt =I=}$ σταθερό.

Άρα

$\displaystyle{\int_{a}^{b}h(t)e^{xh(t)}dt = \int_{a}^{c}h(t)e^{xh(t)}dt + \int_{a}^{c}h(t)e^{xh(t)}dt \ge \int_{a}^{c}h(t)e^{xh(t)}dt +I}$

Παίρνουμε τώρα όριο $x\to \infty$ . Παρατηρούμε ότι από την α) περίπτωση με [a,c]

στην θέση του [a,b]

, το ολοκλήρωμα τείνει στο $+\infty$ . Το ζητούμενο τώρα είναι άμεσο.

#3

Μια αλλη λυση βρισκεται στο βιβλίο μου ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ σελιδες 488-489 στα αρχεία του

ή στον ΕΚΘΕΤΗ του Νικου Μαυρογιάννη

ANIΣΟΤΗΤΑ

ANIΣΟΤΗΤΑ

Re: ANIΣΟΤΗΤΑ

Re: ANIΣΟΤΗΤΑ

Μέλη σε σύνδεση