Ισότητα

Tolaso J Kos · #1

Έστω

και

δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\frac{\mathrm{d}^2 y }{\mathrm{d} x^2} = \frac{\mathrm{d}^2 y }{\mathrm{d} u^2} \left ( \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} \right )^2 + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u} \frac{\mathrm{d}^2 u }{\mathrm{d} x^2}}$

nikos_el · #2

$\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\right)=\left[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\right)\right]\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+\left[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\right)\right]\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}$

Θέτοντας $\displaystyle{z(u)=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}}$ :

$\displaystyle{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\right)=\dfrac{\mathrm{d}z(u)}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}u}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}u^2}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}}$

Άρα, $\displaystyle{\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}u^2}\left(\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\right)^2+\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\dfrac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}x^2}}$

#3

Tolaso J Kos έγραψε: Πέμ Μαρ 04, 2021 11:09 pm Έστω και δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\frac{\mathrm{d}^2 y }{\mathrm{d} x^2} = \frac{\mathrm{d}^2 y }{\mathrm{d} u^2} \left ( \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} \right )^2 + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u} \frac{\mathrm{d}^2 u }{\mathrm{d} x^2}}$

Από κανόνα αλυσίδας

$\displaystyle{\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d} u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} }$ άρα από τύπο για γινόμενο παραγωγίζοντας τηε προηγούμενη είναι

$\displaystyle{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}^2 y }{\mathrm{d} x^2} = \left ({\frac {\mathrm{d}}{dx} \frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d} u}\right ) \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} + \frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d} u} \left ( \frac {\mathrm{d}}{dx} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} \right )}=}$

$\displaystyle{= \left (\left ({\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}u} \frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d}u}\right ) \left ( \frac {\mathrm {d}u}{\mathrm{d}x} \right )\right ) \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} + \frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d} u} \left ( \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} \right )}=\frac{\mathrm{d}^2 y }{\mathrm{d} u^2} \left ( \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} \right )^2 + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u} \frac{\mathrm{d}^2 u }{\mathrm{d} x^2}}}$

Ισότητα

Ισότητα

Re: Ισότητα

Re: Ισότητα

Μέλη σε σύνδεση