Μία κατασκευή

M.S.Vovos · #1

Έστω $\lambda >0$ και η συνάρτηση $f(x)=\left | \ln \left ( \lambda x+1 \right )-x \right |$ . Αν η

είναι παραγωγίσιμη στο

, τότε:

i. Να αποδείξετε ότι $\lambda =1$ .

ii. Να αποδείξετε ότι $f(x)=x-\ln \left ( x+1 \right ),\hspace{3mm}x>-1$ .

Ορίζουμε για κάθε $x\in \left ( -1,0 \right )\cup \left ( 0,+\infty \right )$ το σημείο $A_{x}\left ( g(x),0 \right )$ , που είναι το σημείο τομής της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της

στο σημείο $B\left ( x,f(x) \right )$ , με τον άξονα x'x

.

iii. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\displaystyle g(x)=\left (1+\frac{1}{x} \right )\ln (x+1)-1}$ για κάθε $x\in \left ( -1,0 \right )\cup \left ( 0,+\infty \right )$ .

iv. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

, που τέμνει τον άξονα x'x

στο σημείο $\displaystyle \Gamma \left (\frac{1}{e-1},0 \right )$ , την οποία και να προσδιορίσετε.

Φιλικά,
Μάριος

#2

θετουμε $\displaystyle{f(x)=ln(1+lx)x}$ Πρέπεi

$\displaystyle{\lim_{x \to 0+}\frac{|f(x)|}{x}=\lim_{x \to 0-}\frac{|f(x)|}{x}\in R}$

$\displaystyle{(\frac{ln(lx+1)-x}{x})'=\frac{\frac{lx}{lx+1}-ln(lx+1)}{x^2}=}$

όμως $\displaystyle{ln(\frac{1}{1+lx})\le\frac{1}{1+lx}-1}$

οπότε $\displaystyle{ln(1+lx)\ge\frac{lx}{1+lx}}$

άρα η $\displaystyle{ f(x)/x \downarrrow}$ kαι τα πλευρικά ορια ετερόσημα και ίσα συνεπώς ίσα με το $\displaystyle{0}$ μάλιστα το αριστερό είναι θετικό
$\displaystyle{\lim_{x \to 0-}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x \to 0-}\frac{f'(x)}{1}=\lim_{x \to 0-}\frac{l}{1+lx}-1}=l-1=0 }$
$\displaystyle{l=1}$

Η ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΑΡΓΟΤΕΡΑ

#3

είναι
$\displaystyle{ln(1+x)\le (1+x)-1}$
αρα
$\displaystyle{|f(x)|=x-ln(1+x),x>-1}$

$\displaystyle{0-f(x)=f'(x)(g(x)-x)}$ με απλές πράξεις το ζητούμενο

Αρκεί η $\displaystyle{g(x)=\frac{1}{e-1}}$ ΝΑ έχει μοναδική λύση

Εχει λύση το $\displaystyle{e-1}$ και $\displaystyle{g'(x)=...\ge 0}$ αρα $\displaystyle{g \uparrow}$ δηλαδή $\displaystyle{g 1-1}$
Tο ζητούμενο έπεται

Σταμ. Γλάρος · #4

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 08, 2021 5:37 pm
Έστω $\lambda >0$ και η συνάρτηση $f(x)=\left | \ln \left ( \lambda x+1 \right )-x \right |$ . Αν η είναι παραγωγίσιμη στο , τότε:

i. Να αποδείξετε ότι $\lambda =1$ .

ii. Να αποδείξετε ότι $f(x)=x-\ln \left ( x+1 \right ),\hspace{3mm}x>-1$ .

Ορίζουμε για κάθε $x\in \left ( -1,0 \right )\cup \left ( 0,+\infty \right )$ το σημείο $A_{x}\left ( g(x),0 \right )$ , που είναι το σημείο τομής της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο $B\left ( x,f(x) \right )$ , με τον άξονα .

iii. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\displaystyle g(x)=\left (1+\frac{1}{x} \right )\ln (x+1)-1}$ για κάθε $x\in \left ( -1,0 \right )\cup \left ( 0,+\infty \right )$ .

iv. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της , που τέμνει τον άξονα στο σημείο $\displaystyle \Gamma \left (\frac{1}{e-1},0 \right )$ , την οποία και να προσδιορίσετε.

Φιλικά,
Μάριος

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια στα δύο πρώτα ...
(i) Είναι $\lim_{x\rightarrow 0^-}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}= \lim_{x\rightarrow 0^-}\dfrac{|ln(\lambda x+1)-x|}{x} = \lim_{x\rightarrow 0^-}\left (-\dfrac{|ln(\lambda x+1)-x|}{-x} \right ) =$
$= \lim_{x\rightarrow 0^-}\left (-\left |\dfrac{ln(\lambda x+1)}{x} -1 \right | \right )=-|\lambda -1|$ .

Επίσης $\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}= \lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{|ln(\lambda x+1)-x|}{x} = \lim_{x\rightarrow 0^+}\left (\dfrac{|ln(\lambda x+1)-x|}{x} \right ) =$
$= \lim_{x\rightarrow 0^+}\left (\left |\dfrac{ln(\lambda x+1)}{x} -1 \right | \right )=|\lambda -1|$ .

Για τον υπολογισμό του $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{ln(\lambda x+1)}{x}$ , εφαρμόζουμε κανόνα de l΄ Hospital .
Έχουμε $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{ln(\lambda x+1)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(ln(\lambda x+1))'}{x'} =\lambda$ .

Αφού

: παραγωγίσιμη στο

.
Θεωρώ συνάρτηση $h (x)= \ln \left ( x+1 \right )-x$ . Είναι f(x)=|h(x)|

.
H

είναι παραγωγίσιμη με $h'(x)=- \dfrac{x}{x+1}$ .
Με πινακάκι, εύκολα, βρίσκουμε ότι η

παρουσιάζει στο

, ολικό μέγιστο το h(0)=0

.
Άρα ισχύει $h(x)\leq h(0)=0, \forall x\in (-1,+\infty )$ .
Συνεπώς $f(x)=-h(x) =x- \ln \left ( x+1 \right )$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Μία κατασκευή

Μία κατασκευή

Re: Μία κατασκευή

Re: Μία κατασκευή

Re: Μία κατασκευή

Μέλη σε σύνδεση