mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 08, 2021 5:16 pm**

Έστω

ένα τρίγωνο και

σημείο του επιπέδου του. Έστω a=BC, b=AC, c=AB

και

.

και

οι ακτίνες του περιγεγραμμένου και εγγεγραμμένου κύκλου αυτού του τριγώνου,

το εμβαδόν του και

η απόσταση του σημείου

από το κέντρο

του περιγεγραμμένου κύκλου του ABC

. Να δείξετε ότι ισχύει ο παρακάτω τύπος:

$\displaystyle{16S^2 \left ( d^2-R^2\right)^2 = \left ( au+bv+cw)(au+bv-cw)(au-bv+cw)(-au+bv+cw) }$ (1)

ή στην προσθετική του μορφή

$\displaystyle{16S^2 \left ( d^2-R^2\right)^2 = 2 \left (a^2u^2b^2v^2+a^2u^2c^2w^2+b^2v^2c^2w^2\right)-\left( a^4u^4+b^4v^4+c^4w^4\right)}$

Αν επιπλέον $\rho$ είναι η ακτίνα του κύκλου $\omega$ με κέντρο το σημείο

και

τα μήκη των εφαπτόμενων τμημάτων από τα σημεία A,B,C

προς τον $\omega$ τότε να δείξετε ότι ισχύει ο τύπος:

$\displaystyle{16S^2 \left (\rho^2 -(d-R)^2\right ) \left( \rho^2 -(d+R)^2\right) = \left ( ax+by+cz)(ax+by-cz)(ax-by+cz)(-ax+by+cz)}$

ή στην προσθετική του μορφή

$\displaystyle{16S^2 \left (\rho^2 -(d-R)^2\right ) \left( \rho^2 -(d+R)^2\right) =2 \left (a^2x^2b^2y^2+a^2x^2c^2z^2+b^2y^2c^2z^2\right)-\left( a^4x^4+b^4y^4+c^4z^4\right)}$

Πηγή: περιοδικό "Μαθηματική εκπαίδευση" τεύχος 26, 2020.

mathematica.gr

Ενδιαφέρον Τύπος

Ενδιαφέρον Τύπος