Συντονιστής: R BORIS
είναι θετικός . Οι παραβολές με εξισώσεις : 
και : 
, τέμνονται
και 
. α) Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζουν οι δύο καμπύλες . .
![\displaystyle{\begin{aligned}
y_1 = y_2 &\Leftrightarrow \left ( ax^2 \right )^2 = ax \\
&\Leftrightarrow a^2 x^4 = ax \\
&\!\!\!\!\!\overset{a>0}{\Leftarrow \! =\! =\! \Rightarrow } a x^4 - x =0 \\
&\Leftrightarrow x \left ( ax^3 -1 \right ) =0 \\
&\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x & = & 0\\
x &= & \sqrt[3]{\frac{1}{a}}
\end{matrix}\right.
\end{aligned}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/54b2fea8c2800f85e20e6ba7ae546470.png "\displaystyle{\begin{aligned}
y_1 = y_2 &\Leftrightarrow \left ( ax^2 \right )^2 = ax \\
&\Leftrightarrow a^2 x^4 = ax \\
&\!\!\!\!\!\overset{a>0}{\Leftarrow \! =\! =\! \Rightarrow } a x^4 - x =0 \\
&\Leftrightarrow x \left ( ax^3 -1 \right ) =0 \\
&\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x & = & 0\\
x &= & \sqrt[3]{\frac{1}{a}}
\end{matrix}\right.
\end{aligned}}")
![\displaystyle{\begin{aligned}
\mathrm{E}\left ( \Omega \right ) &= \int_{0}^{\sqrt[3]{1/a}} \left | ax^2 - \sqrt{ax} \right |\, \mathrm{d}x\\
&=\int_{0}^{\sqrt[3]{1/a}} \left ( \sqrt{ax} - ax^2 \right )\, \mathrm{d}x \\
&=\frac{2}{3} - \frac{1}{3} \\
&= \frac{1}{3}
\end{aligned}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d71f4c7a798aaab84a75fc434f4541e3.png "\displaystyle{\begin{aligned}
\mathrm{E}\left ( \Omega \right ) &= \int_{0}^{\sqrt[3]{1/a}} \left | ax^2 - \sqrt{ax} \right |\, \mathrm{d}x\\
&=\int_{0}^{\sqrt[3]{1/a}} \left ( \sqrt{ax} - ax^2 \right )\, \mathrm{d}x \\
&=\frac{2}{3} - \frac{1}{3} \\
&= \frac{1}{3}
\end{aligned}}")
![\displaystyle \mathrm{A} \left ( \sqrt[3]{\frac{1}{a}} , \sqrt[3]{a} \right )](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/8cd4a369b08bb728213bbdb258e1061c.png "\displaystyle \mathrm{A} \left ( \sqrt[3]{\frac{1}{a}} , \sqrt[3]{a} \right )")
. Ο συντελεστής διεύθυνσης της 
είναι ![y_1'(a) = 2 \sqrt[3]{a^2}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/31185b768657ebfb7da94092b6b194b2.png "y_1'(a) = 2 \sqrt[3]{a^2}")
και της 
είναι ![y_2'(a) = \frac{\sqrt[3]{a^2}}{2}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a88b6e96457865bc4927dfd532757cee.png "y_2'(a) = \frac{\sqrt[3]{a^2}}{2}")
. Η γωνία που σχηματίζουν οι δύο αυτές εφαπτόμενες είναι ίση με
![\displaystyle{\begin{aligned}
\tan \theta &= \frac{2 \sqrt[3]{a^2} - \frac{\sqrt[3]{a^2}}{2}}{1 + 2 \sqrt[3]{a^2}\frac{\sqrt[3]{a^2}}{2}} \\
&= \frac{3 \sqrt[3]{a^2}}{2 \left ( \sqrt[3]{a^4}+1 \right )}
\end{aligned}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/96d2206814160f3e291f14cb43674f2b.png "\displaystyle{\begin{aligned}
\tan \theta &= \frac{2 \sqrt[3]{a^2} - \frac{\sqrt[3]{a^2}}{2}}{1 + 2 \sqrt[3]{a^2}\frac{\sqrt[3]{a^2}}{2}} \\
&= \frac{3 \sqrt[3]{a^2}}{2 \left ( \sqrt[3]{a^4}+1 \right )}
\end{aligned}}")
![\displaystyle{f(a) = \frac{3 \sqrt[3]{a^2}}{2 \left ( \sqrt[3]{a^4}+1 \right )} \;, \; a>0}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/14d0e2e6d0be65f3f82b4ea74c9c38f1.png "\displaystyle{f(a) = \frac{3 \sqrt[3]{a^2}}{2 \left ( \sqrt[3]{a^4}+1 \right )} \;, \; a>0}")
. Κατά τα κλασσικά βγάζουμε μέγιστο 
για 
. Άρα η μέγιστη τιμή της 
είναι .
, είναι γνωστή καμπύλη ( ποια ; ) KARKAR έγραψε: Τετ Ιουν 02, 2021 7:25 pm
Παρατήρησε επίσης ότι ο γεωμετρικός τόπος του
. Αυτό εξάλλου φαίνεται και από τις συντεταγμένες του σημείου 
που βρήκα παραπάνω. Όσον αφορά το άλλο ερώτημα το ότι το εμβαδόν είναι σταθερό , η αλήθεια είναι το διαπίστωσα όταν έλυσα το ερώτημα ( αν και έπρεπε να το υποψιαστώ διότι η άσκηση δε ζητάει να βρεθεί π.χ μέγιστο ή ελάχιστο του εμβαδού ) 
![x\to \sqrt[3]{\frac{1}{a}}X](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f863046ccc5ecf2b0bf88091580e77e9.png "x\to \sqrt[3]{\frac{1}{a}}X")
και ![y \to \sqrt[3]{a}Y](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/0cbd745c77a86c398c372c5d15703545.png "y \to \sqrt[3]{a}Y")
τότε οι δύο παραβολές καταλήγουν στις 
και 
- οι οποίες είναι συμμετρικές - και το χωρίου που περικλείεται από τις δύο έχει εμβαδόν
επίσης έχει αυτήν την ιδιότητα, δηλαδή το προφανές, τα ορθογώνια που σχηματίζονται με τις προβολές των σημείων της στους άξονες έχουν σταθερό εμβαδόν. Φαίνεται ότι αυτή η ιδιότητα κληρονομήθηκε κατά κάποιο τρόπο στον μετασχηματισμό. Το σημείο τομής ανήκει σε αυτήν την καμπύλη και για αυτό μου δημιουργήθηκε εξ'αρχής η απορία. 
-ας γίνει κίτρινος- για τα πρωτότυπα θέματα που μας προσφέρει) Christos.N έγραψε: Πέμ Ιουν 03, 2021 3:09 pm
Y.Γ. Να προσθέσω ότι η καμπύλη
και 
τότε το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ των γραφημάτων αυτών![\displaystyle{\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-1.5, 0) -- (4, 0) node[below]{x};
\draw[->] (0, -0.5) -- (0, 4.5) node[left]{y};
\fill[lightgray, domain=0:1] plot(\x, {sqrt(\x)} ) -- plot (1- \x, {(1-\x)*(1-\x)});
\draw[line width=1.6pt, red] plot[smooth,domain=0:2] (\x, {(\x)^2});
\draw[line width=1.6pt, cyan] plot[smooth,domain=0:4] (\x, {sqrt(\x)});
\draw[dashed , yellow!80!black , line width=1.6pt] (0, 0) -- (4, 4);
\draw (0, 0) node[below left]{0};
\draw (1, 1) node[above left]{A};
\draw (2, 4) node[right]{f};
\draw (4, 2) node[above]{g};
\draw (4, 4) node[right]{y=x};
\end{tikzpicture}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d4d3f474ef21678e080014e9ae33b1e8.png "\displaystyle{\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-1.5, 0) -- (4, 0) node[below]{x};
\draw[->] (0, -0.5) -- (0, 4.5) node[left]{y};
\fill[lightgray, domain=0:1] plot(\x, {sqrt(\x)} ) -- plot (1- \x, {(1-\x)*(1-\x)});
\draw[line width=1.6pt, red] plot[smooth,domain=0:2] (\x, {(\x)^2});
\draw[line width=1.6pt, cyan] plot[smooth,domain=0:4] (\x, {sqrt(\x)});
\draw[dashed , yellow!80!black , line width=1.6pt] (0, 0) -- (4, 4);
\draw (0, 0) node[below left]{0};
\draw (1, 1) node[above left]{A};
\draw (2, 4) node[right]{f};
\draw (4, 2) node[above]{g};
\draw (4, 4) node[right]{y=x};
\end{tikzpicture}}")
το εμβαδόν ισούται με 
. Το ερώτημα είναι γιατί; 
και 
και 
και σε οποιοδήποτε σημείο το εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζει με τις κάθετες προβολές στους άξονες είναι ίσο με 
το οποίο είναι μεταβλητό . 'Όπου το παραπάνω δικαιολογείται καθώς γενικότερα με τους μετασχηματισμούςChristos.N έγραψε: Πέμ Ιουν 03, 2021 6:47 pm
Εδώ φαίνεται να κληρονομείται η μεταβλητότητα και μάλιστα η απάντηση που έχουμε στο αρχικό εμβαδόν φαίνεται να είναι το γινόμενο του "καθαρού" με το μεταβλητό.
το ολοκλήρωμα που εκφράζει το εμβαδόν γίνεται
.Ας το κάνουμε όπως ο τρισμέγιστος Αρχιμήδης.KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 01, 2021 1:21 pm Δύο παραβολές 3.pngΟ αριθμός
στα σημεία
και θα δείξουμε ότι είναι ανεξάρτητο 
Ο Αρχιμήδης έδειξε ότι το εμβαδόν του παραβολικού χωρίου 
είναι 
Από τις συντεταγμένες των 
βρίσκουμε ότι 
. 
Αν το δούμε αλλιώς έχουμε 
κινείται στην υπερβολή 
και επομένως 
σταθερό και ίσο 
Όμοια βρίσκουμε ότι 
αφού το 
κινείται στην υπερβολή 
Επίσης, από τον τύπο 
βρίσκουμε ότι 
Τελικά και το σταθερό.Όλα σταθερά λοιπόν. όπου αναφέρομαι στο αρχικό πρόβλημα πάντα, θα μπορούσαμε να βρούμε την αλλαγή μεταβλητών που απαλείφουν την παράμετροChristos.N έγραψε: Πέμ Ιουν 03, 2021 3:09 pm
Πράγματι αν
και ως εξής:
τότε έχουμε 
απαιτώντας να ισχύει 
και λύνοντας τα συστήματα προκύπτει και ο αρχικός μετασχηματισμός μας.Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες
