Μέσο εν μέσω καύσωνα

#1

: Μέσο εν μέσω καύσωνα_ok.png (20.39 KiB) Προβλήθηκε 730 φορές

Έστω κύκλος $\left( {O,r} \right)$ και διάμετρός του

.

Με κέντρο το

και ακτίνα $R\,\,\left( {r < R < 2r} \right)$ , γράφω νέο κύκλο που τέμνει τον $\left( {O,r} \right)$ στα $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ .

Προεκτείνω την ακτίνα

προς το

και τέμνει τον κύκλο $\left( {B,R} \right)$ στο

.

Η

τέμνει ακόμα τον κύκλο $\left( {O,r} \right)$ στο

, ενώ η από το

παράλληλη στην

τέμνει τις $ZA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZB$ στα $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ .

Δείξετε ότι το

είναι μέσο του

Αν σας φανεί εύκολη , είναι εύκολη!

#2

Doloros έγραψε: Πέμ Ιουν 24, 2021 10:19 am Μέσο εν μέσω καύσωνα_ok.png

Έστω κύκλος $\left( {O,r} \right)$ και διάμετρός του .

Με κέντρο το και ακτίνα $R\,\,\left( {r < R < 2r} \right)$ , γράφω νέο κύκλο που τέμνει τον $\left( {O,r} \right)$ στα $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ .

Προεκτείνω την ακτίνα προς το και τέμνει τον κύκλο $\left( {B,R} \right)$ στο .

Η τέμνει ακόμα τον κύκλο $\left( {O,r} \right)$ στο , ενώ η από το παράλληλη στην τέμνει τις $ZA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZB$ στα $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ .

Δείξετε ότι το είναι μέσο του

Αν σας φανεί εύκολη , είναι εύκολη!

Η

επανατέμνει τον κύκλο (O)

στο

Το

είναι ισοσκελές τραπέζιο, άρα $\overset\frown{ZM}=\overset\frown{CD}=2\overset\frown{AD}.$

: εν μέσω καύσωνα.png (21.45 KiB) Προβλήθηκε 679 φορές

$D\widehat KZ=\dfrac{\overset\frown{ZM}-\overset\frown{AD}}{2}=\dfrac{\overset\frown{AD}}{2}=D\widehat ZK$ κι επειδή $K\widehat ZL=90^\circ,$ το

θα είναι μέσο του KL.

STOPJOHN · #3

Doloros έγραψε: Πέμ Ιουν 24, 2021 10:19 am Μέσο εν μέσω καύσωνα_ok.png

Έστω κύκλος $\left( {O,r} \right)$ και διάμετρός του .

Με κέντρο το και ακτίνα $R\,\,\left( {r < R < 2r} \right)$ , γράφω νέο κύκλο που τέμνει τον $\left( {O,r} \right)$ στα $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ .

Προεκτείνω την ακτίνα προς το και τέμνει τον κύκλο $\left( {B,R} \right)$ στο .

Η τέμνει ακόμα τον κύκλο $\left( {O,r} \right)$ στο , ενώ η από το παράλληλη στην τέμνει τις $ZA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZB$ στα $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ .

Δείξετε ότι το είναι μέσο του

Εφόσον $CZ//KD\Rightarrow \hat{ZKL}=\phi =\hat{CZK},\hat{LZE}=\omega =\hat{ZLD},\phi +\omega =180-90=90^{0}$ Tα τετράπλευρα είναι εγγράψιμα στους κύκλους αντίστοιχα .

Οπότε $\theta =\hat{CEB}=\hat{BCE}=\hat{ADC},\hat{CBA}=2\theta ,\sigma =\hat{AED}=\hat{BDE}= \hat{ACD}, 2\sigma =\hat{ABD},CB=BD=R\Rightarrow \hat{DCB}=\hat{CDB}\Rightarrow 90-\sigma =90-\theta \Rightarrow \theta =\sigma \Rightarrow AC=AD\Rightarrow \hat{CZA}=\hat{AZD}=\phi$

Συνεπώς $\hat{KZD}=\phi =\hat{DKZ}\Rightarrow KD=DZ,$

$\hat{DZL}=90-\phi =\omega =\hat{DLZ}\Rightarrow DL=DZ$

Τελικά

Αν σας φανεί εύκολη , είναι εύκολη!

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #4

Doloros έγραψε: Πέμ Ιουν 24, 2021 10:19 am Μέσο εν μέσω καύσωνα_ok.png

Έστω κύκλος $\left( {O,r} \right)$ και διάμετρός του .

Με κέντρο το και ακτίνα $R\,\,\left( {r < R < 2r} \right)$ , γράφω νέο κύκλο που τέμνει τον $\left( {O,r} \right)$ στα $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ .

Προεκτείνω την ακτίνα προς το και τέμνει τον κύκλο $\left( {B,R} \right)$ στο .

Η τέμνει ακόμα τον κύκλο $\left( {O,r} \right)$ στο , ενώ η από το παράλληλη στην τέμνει τις $ZA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZB$ στα $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ .

Δείξετε ότι το είναι μέσο του

Αν σας φανεί εύκολη , είναι εύκολη!

Γεια σας.

Έστω $T\equiv (CDE)\cap AB$
Τότε έχω ότι $\angle{TCE}=\angle{ACB}$ ,οπότε προκύπτει ότι
$\angle{TCA}=\angle{BCE}=\angle{BEC}$ ,.Αρα η πολική του

ως προς τον (B,R)

περιέχει το σημείο

και αφού η

κάθετη στην

συμπεραίνουμε ότι η πολική του

ως προς τον (B,R)

είναι η ευθεία

.Αυτό σημαίνει ότι τα AC,AD είναι εφαπτόμενα τμήματα . Έτσι η

είναι η εξωτερική διχοτόμος της $\angle{DZE}$ . Θεωρώντας τέλος $Q\equiv ZD\cap AB$ , τότε αφού η γωνία ΑΖΒ είναι ορθή παίρνουμε ότι
Z(A,B;Q,E)=-1

που σε συνδιασμό με την παραλληλία ZE//DL

δίνει το ζητούμενο.

nickchalkida · #5

Επειδή

,

εφαπτόμενες του κόκκινου κύκλου και ACZD

περιγράψιμο οι πορτοκαλί γωνίες είναι ίσες.
Δηλαδή

εξωτερική διχοτόμος στο FZE

και $\angle AZB = 90^o$ , άρα ο διπλός λόγος

$\displaystyle{ (A, B, F, E) = -1 }$

και για την δέσμη C.ABFE

είναι $KL \parallel CE$ άρα KD=DL

.

Μέσο εν μέσω καύσωνα

Μέσο εν μέσω καύσωνα

Re: Μέσο εν μέσω καύσωνα

Re: Μέσο εν μέσω καύσωνα

Re: Μέσο εν μέσω καύσωνα

Re: Μέσο εν μέσω καύσωνα

Μέλη σε σύνδεση