SEEMOUS 2021/4

#1

Για $p\in\mathbb{R}$ , ορίζουμε την ακολουθία $(a_n)_{n\geqslant 1}$ ως

$\displaystyle a_n=\frac 1{n^p}\int_0^n\big|\sin(\pi x)\big|^x \,{\textrm d}x\,.$

Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του

για τις οποίες η σειρά $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ συγκλίνει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Demetres έγραψε: Πέμ Ιούλ 22, 2021 10:06 am Για $p\in\mathbb{R}$ , ορίζουμε την ακολουθία $(a_n)_{n\geqslant 1}$ ως

$\displaystyle a_n=\frac 1{n^p}\int_0^n\big|\sin(\pi x)\big|^x \,{\textrm d}x\,.$

Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του για τις οποίες η σειρά $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ συγκλίνει.

Πολύ θα ήθελα να μάθω ποιος το πρότεινε.

Είναι $\displaystyle \int_{0}^{n }|\sin \pi x|^x dx=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k}^{k+1}|\sin \pi x|^x dx$
Θέτοντας
$\displaystyle d_k=\int_{k}^{k+1}|\sin \pi x|^x dx, b_k=\int_{k}^{k+1}|\sin \pi x|^k dx$
είναι τετριμμένο να δούμε ότι
$\displaystyle b_{k+1}\leq d_k\leq b_k$
Είναι
$\displaystyle b_k=\int_{k}^{k+1}|\sin \pi x|^k dx=C\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(\sin t)^k dx=Cr_k$
Αυτός που ξέρει πολλά γνωρίζει ότι
https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis%27_integrals
και καθαρίζει.

Αλλιώς .
Εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι $\displaystyle r_k=\frac{k-1}{k}r_{k-2}$
και με επαγωγή ότι υπάρχουν σταθερές c_1,c_2

ώστε

$\displaystyle \frac{c_1}{\sqrt{k}}\leq r_{k}\leq \frac{c_2}{\sqrt{k}}(1-\frac{1}{k}),k\geq 2$

Ετσι βγάζουμε το συμπέρασμα ότι υπάρχουν σταθερές d_1,d_2

ώστε

$\displaystyle d_1\frac{1}{n^{p-\frac{1}{2}}}\leq a_n\leq d_2\frac{1}{n^{p-\frac{1}{2}}}$

Αρα η σειρά συγκλίνει αν και μόνο αν $p> \frac{3}{2}$

συμπλήρωμα.
Διόρθωσα τυπογραφικό.
Ευχαριστώ τον Λ.Κατσάπα που μου το επισήμανε.

#3

Αν και για έναν έμπειρο φαίνεται σχετικά βατό πρόβλημα, τελικά αποδείχθηκε αρκετά δύσκολο για τους φοιτητές και είχε μεγάλη δόση αποτυχίας.

Nick1990 · #4

Demetres έγραψε: Σάβ Ιούλ 24, 2021 10:50 am Αν και για έναν έμπειρο φαίνεται σχετικά βατό πρόβλημα, τελικά αποδείχθηκε αρκετά δύσκολο για τους φοιτητές και είχε μεγάλη δόση αποτυχίας.

Δημήτρη, μήπως γνωρίζεις τα cut-offs του διαγωνισμού;

SEEMOUS 2021/4

SEEMOUS 2021/4

Re: SEEMOUS 2021/4

Re: SEEMOUS 2021/4

Re: SEEMOUS 2021/4

Μέλη σε σύνδεση