Συμμετρία

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f, g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχείς συναρτήσεις στον $\mathbb{R}$ . Αν η ευθεία $x=\frac{\alpha + \beta}{2}$ είναι άξονα συμμετρίας της $\mathcal{C}_f$ τότε να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta} x g \left ( f(x) \right )\, \mathrm{d}x = \frac{\alpha+\beta}{2} \int_{\alpha}^{\beta}g \left ( f(x) \right )\, \mathrm{d}x }$

BAGGP93 · #2

Καλημέρα Τόλη. (πριν πιω καφέ)

Αφού η $x=\dfrac{a+b}{2}$ είναι άξονας συμμετρίας της $C_{f}$ έχουμε f(a+b-x)=f(x)

για κάθε $x\in\mathbb{R}$ . Έχουμε τότε

$\begin{aligned} I=\int_{a}^{b}x\,g(f(x))\,\mathrm{d}x\\&\stackrel{y=a+b-x}{=}-\int_{b}^{a}(a+b-y)\,g(f(a+b-y))\,\mathrm{d}y\\&=\int_{a}^{b}(a+b)\,g(f(a+b-y))\,\mathrm{d}y-\int_{a}^{b}y\,g(f(a+b-y))\,\mathrm{d}y\\&=(a+b)\,\int_{a}^{b}g(f(y))\,\mathrm{d}y-I\end{aligned}$

Κατά συνέπεια, $\displaystyle{I=\dfrac{a+b}{2}\,\int_{a}^{b}g(f(x))\,\mathrm{d}x}$

Συμμετρία

Συμμετρία

Re: Συμμετρία

Μέλη σε σύνδεση