Το πρόβλημα της εβδομάδας από HMMT

Τσιαλας Νικολαος · #1

Τα πανεπιστήμια Harvard και MIT κάθε χρόνο κάνουν 2 κοινούς διαγωνισμούς στους οποίους τυγχάνει να συμμετέχουμε με κάποιους μαθητές μου. Το τελευταίο καιρό η επιτροπή θεμάτων αποφάσισε να βάζει το "πρόβλημα της εβδομάδας"! Το πρόβλημα της περασμένης εβδομάδας είναι το παρακάτω... Ελπίζω να μην το έχω βάλει σε λάθος φάκελο!

Οι τρεις λύσεις της εξίσωσης x^3-4x^2+5x-p=0

είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου. Να βρεθεί ο αριθμός

.

#2

Οι διαγωνισμοί είναι εξαιρετικοί! Το πρόβλημα της εβδομάδας δεν το είχα προσέξει. Θα το έχω υπόψη.

Το συγκεκριμένο είναι όμορφη ασκησούλα στους τύπους του Vieta. Αν a,b,c

οι ρίζες τότε a+b+c = 4, ab+bc+ca=5

και ασφαλώς a^2+b^2 = c^2

. Όμως

. Άρα

που δίνει $c = \sqrt{3}$ . Τώρα έχουμε

$\displaystyle p = c^3 - 4c^2 + 5c = c(c^2+5) - 4c^2 = 8c-12 = 8\sqrt{3}-12.$

Το πρόβλημα της εβδομάδας από HMMT

Το πρόβλημα της εβδομάδας από HMMT

Re: Το πρόβλημα της εβδομάδας από HMMT

Μέλη σε σύνδεση