Να βρεθεί η συνάρτηση και το μέγιστο

Christos.N · #1

Δίνεται η παράσταση $I=\int_{0}^{1}f'(t)sin(\pi f(t))-(t+f(t))^2~dt$ όπου f,f'

συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [0,1]

.

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

καθώς και η συνάρτηση

για την οποία παρουσιάζει μέγιστη τιμή.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Christos.N έγραψε: Πέμ Νοέμ 11, 2021 1:31 pm Δίνεται η παράσταση $I=\int_{0}^{1}f'(t)sin(\pi f(t))-(t+f(t))^2~dt$ όπου συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα .

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης καθώς και η συνάρτηση για την οποία παρουσιάζει μέγιστη τιμή.

Έχουμε

$\displaystyle{I=-\dfrac {1}{\pi} \left [ \cos (\pi f(t) ) \right ]_0^1-\int_0^1 (t+f(t))^2\,dt=}$

$\displaystyle{=\dfrac {1}{\pi} \left [ \cos (\pi f(0) )- \cos (\pi f(1) ) \right ]-\int_0^1 (t+f(t))^2\,dt\le }$

$\displaystyle{ \le \dfrac {2}{\pi} -0}$

Έχουμε ισότητα αν και μόνον αν υπάρχει

με $\cos (\pi f(0) ) = 1,\,\,\, \cos (\pi f(1) ) = -1$ και t + f(t)=0

για κάθε $t\in [0,1]$ .

Η τελευταία δίνει f(t) = -t

για κάθε $t\in [0,1]$ αλλά παρατηρούμε ότι τότε ισχύουν συγχρόνως και οι άλλες δύο. Συγκεκριμένα, αφού $f(0)=0,\, f(1)=-1$ , ισχύει

$\cos (\pi f(0) ) = \cos 0= 1$ και $\cos (\pi f(1) ) = \cos (-\pi) = -1$ .

Με άλλα λόγια το μέγιστο είναι $\dfrac {2}{\pi}$ , το οποίο υλοποιείται με την f(t)=-t

στο

.

Να βρεθεί η συνάρτηση και το μέγιστο

Να βρεθεί η συνάρτηση και το μέγιστο

Re: Να βρεθεί η συνάρτηση και το μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση