Σύστημα

#1

Αν ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς $\displaystyle{x , y , z}$ είναι διάφορος του μηδενός και αν ισχύουν οι σχέσεις:

$\displaystyle{x^2 + y + z = y^2-k }$

$\displaystyle{y^2 + x + z = z^2}$

$\displaystyle{z^2 + x + y = x^2}$

να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{xyz = \frac{1}{3}}$

Μετά από μήνυμα του Γιώργου Βισβίκη, πρέπει να μην υπάρχει το $\displaystyle{k}$ στην πρώτη εξίσωση, το οποίο από κάποιο λάθος σε πράξη κατά την κατασκευή της άσκησης, μου προέκυψε ότι θα έπρεπε να ισούται με μηδέν.

Ζητώ συγνώμη, από όσους επιχείρησαν να την λύσουν.

Έτσι η σωστή εκφώνηση είναι η εξής:

Αν ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς $\displaystyle{x , y , z}$ είναι διάφορος του μηδενός και αν ισχύουν οι σχέσεις:

$\displaystyle{x^2 + y + z = y^2 }$

$\displaystyle{y^2 + x + z = z^2}$

$\displaystyle{z^2 + x + y = x^2}$

να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{xyz = \frac{1}{3}}$

abgd · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Παρ Νοέμ 26, 2021 7:19 pm Αν ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς $\displaystyle{x , y , z}$ είναι διάφορος του μηδενός και αν ισχύουν οι σχέσεις:

$\displaystyle{x^2 + y + z = y^2 }$

$\displaystyle{y^2 + x + z = z^2}$

$\displaystyle{z^2 + x + y = x^2}$

να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{xyz = \frac{1}{3}}$

Απάντηση.

Έστω $\displaystyle{(a,b,c)\in \{(x,y,z),(y,z,x),(z,x,y)\}}$

Ισχύει: $\displaystyle{a^2 + b + c = b^2 \ \ \bf(1)}$

$\displaystyle{\sum(a^2 + b + c = b^2) }\Rightarrow a+b+c=0\ \eta^\prime x+y+z=0 \ \ \bf(2)}$

Αν κάποιο από τα $\displaystyle{x,y,z}$ είναι $\displaystyle{0}$ , από τις $\displaystyle{\bf (1),(2)}$ προκύπτει ότι και τα άλλα δύο θα είναι $\displaystyle{0}$ πράγμα άτοπο. Άρα $\displaystyle{\bf xyz\ne 0 \ \ \eta^\prime \ \ abc\ne0}$ .

Από τις $\displaystyle{\bf (1),(2)}$ έχουμε: $\displaystyle{\frac{b^2}{a}=a-1\Rightarrow \prod\left({\frac{b^2}{a}=a-1\right)}$

Υπολογίζοντας τα γινόμενα έχουμε: $\displaystyle{z^2=xy+1\Rightarrow z^2=\frac{(x+y)^2-x^2-y^2}{2}+1}\Rightarrow x^2+y^2+z^2=2}$
και από γνωστή ταυτότητα προκύπτει ότι
$\displaystyle{xy+yz+zx=-1}$ ή $\displaystyle{\sum{(ab)}=-1 \ \ \bf(3)}$

Από τις $\displaystyle{\bf (1),(2)}$ έχουμε: $\displaystyle{\frac{a}{c}=b-a\Rightarrow \sum{\left(\frac{a}{c}=b-a\right)\Rightarrow \sum{\left(\frac{a}{c}\right)=0}\Rightarrow\sum{\left(a^2b\right)=0 \bf (4)}$

Τέλος πολλαπλασιάζοντας με $\displaystyle{b}$ την $\displaystyle{\bf (1)}$ και χρησιμοποιώντας τις $\displaystyle{\bf (2),(3), (4)}$ καθώς και την ταυτότητα του Euler έχουμε:

$\displaystyle{b^3=a^2b-ab \Rightarrow \sum{b^3}=\sum{(a^2b)}-\sum{(ab)}\Rightarrow\bf{ \boxed{\bf 3xyz=1}} }$

Σημείωση: Η χρησιμοποίηση των $\displaystyle {a,b,c}$ δυσκολεύει την ανάγνωση της απόδειξης, ελαχιστοποιεί όμως τις πολλές ισότητες.

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση