Ευρωπαϊκή ισεμβαδικότητα

KARKAR · #1

: Ευρωπαϊκή ισεμβαδικότητα.png (14.09 KiB) Προβλήθηκε 802 φορές

$\bigstar$ Το

είναι το μέσο της υποτείνουσας

στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

και

. Δείξτε ότι τα τρίγωνα EAB , DAC

είναι ισεμβαδικά .

thepigod762 · #2

KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 05, 2021 7:34 pm Ευρωπαϊκή ισεμβαδικότητα.png $\bigstar$ Το είναι το μέσο της υποτείνουσας στο ορθογώνιο τρίγωνο

και . Δείξτε ότι τα τρίγωνα είναι ισεμβαδικά .

Είναι:

(αποδεικνύεται εύκολα συνδιάζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα με το πρώτο θεώρημα διαμέσων)

Επίσης, στο $\Delta CAM$ , παίρνουμε:
$(CAM)=AM\cdot CG=CM\cdot AL\Rightarrow CG=AL$ , με G, L

τα ίχνη των υψών του τριγώνου στις απέναντι πλευρές των C,A

, αντίστοιχα.

Τέλος, είναι $AM=MB\Rightarrow AD=EB$

Άρα, $\frac{AD\cdot CG}{2}=\frac{EB\cdot AL}{2}\Leftrightarrow (CAD)=(ABE)$

#3

thepigod762 έγραψε: Κυρ Δεκ 05, 2021 10:24 pm Είναι:

(αποδεικνύεται εύκολα συνδιάζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα με το πρώτο θεώρημα διαμέσων)

Μμμμμ. Σωστά αλλά πιο απλά, ο κύκλος διαμέτρου

διέρχεται από το

(αφού $\angle A = 90^o$ ). Τo

είναι το
κέντρο του κύκλου, άρα οι ακτίνες του $MA,\, MB,\, MC$ είναι ίσες.

Και η υπόλοιπη απόδειξη μπορεί να συντομευθεί ουσιαστικά. Το αφήνω για την ώρα, αλλά ίσως ο λύτης thepigod762 μπορεί να την βρει και να την γράψει.

#4

"Χωρίς λόγια" μεν θα τα γράψω δε

: Ευρωπαϊκή ισεμβαδικότητα.png (23.56 KiB) Προβλήθηκε 726 φορές

Γράφω τον κύκλο $\left( {M,ME} \right)$ που τέμνει ακόμα την

στο

.

Τα ισοσκελή τρίγωνα $MDZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MAC$ είναι όμοια , άρα DZ//AC

. Επίσης

.

Από το (ισοσκελές ) τραπέζιο DZCA

έχω ότι $\left( {DAC} \right) = \left( {DZC} \right) = X = Y = \left( {EAB} \right)$ .

Η ισότητα X = Y

ισχύει αφού πρόκειται για τρίγωνα με ίσες βάσεις και κοινό ύψος.

#5

KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 05, 2021 7:34 pm Ευρωπαϊκή ισεμβαδικότητα.png $\bigstar$ Το είναι το μέσο της υποτείνουσας στο ορθογώνιο τρίγωνο

και . Δείξτε ότι τα τρίγωνα είναι ισεμβαδικά .

: Ο Ευρωπαίος.png (13.78 KiB) Προβλήθηκε 714 φορές

Τα

είναι ισεμβαδικά γιατί έχουν μία γωνία παραπληρωματική και $\displaystyle AM \cdot ME = CM \cdot MD.$

Αλλά, (AMB)=(AMC)

και το ζητούμενο έπεται.

Ευρωπαϊκή ισεμβαδικότητα

Ευρωπαϊκή ισεμβαδικότητα

Re: Ευρωπαϊκή ισεμβαδικότητα

Re: Ευρωπαϊκή ισεμβαδικότητα

Re: Ευρωπαϊκή ισεμβαδικότητα

Re: Ευρωπαϊκή ισεμβαδικότητα

Μέλη σε σύνδεση