Αποδείξτε ότι .....

S.E.Louridas · #1

Αποδείξτε ότι για όλα τα ισοπερίμετρα τρίγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε δοθέντα κύκλο, το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα παράκεντρα καθενός από τα τρίγωνα είναι σταθερό.

#2

S.E.Louridas έγραψε: Παρ Δεκ 10, 2021 9:25 pm Αποδείξτε ότι για όλα τα ισοπερίμετρα τρίγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε δοθέντα κύκλο, το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα παράκεντρα καθενός από τα τρίγωνα είναι σταθερό.

Έστω

και $\tau$ η σταθερή ακτίνα του περίκυκλου και η σταθερή περίμετρος του τριγώνου $\vartriangle ABC$ αντίστοιχα και ας είναι a,b,c

και

οι πλευρές των τριγώνων $\vartriangle ABC$ και $\vartriangle {{I}_{a}}{{I}_{b}}{{I}_{c}}$ αντίστοιχα και {R}'

η ακτίνα του περίκυκλου του τριγώνου $\vartriangle {{I}_{a}}{{I}_{b}}{{I}_{c}}$ .
Από τον νόμο των ημιτόνων έχουμε: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\Rightarrow$ $\ldots a+b+c=2R\left( \sin A+\sin B+\sin C \right)$
$\Rightarrow 2\tau =2R\left[ 2\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{A}{2}+2\sin \dfrac{B+C}{2}\cos \dfrac{B-C}{2} \right]$
$\overset{\dfrac{A}{2}+\dfrac{B+C}{2}=\dfrac{\pi }{2}}{\mathop{\Rightarrow }}\,\tau =R\left[ 2\cos \dfrac{B+C}{2}\cos \dfrac{A}{2}+2\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B-C}{2} \right]\Rightarrow$
$\tau =2R\cos \dfrac{A}{2}\left[ \cos \dfrac{B+C}{2}+\cos \dfrac{B-C}{2} \right]\Rightarrow \tau =4R\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{C}{2}$
Οπότε $\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{C}{2}=\dfrac{\tau }{4R}:\left( 1 \right)$

: Αποδείξτε ότι.....png (31.51 KiB) Προβλήθηκε 909 φορές

Είναι γνωστό ότι ο περίκυκλος του τριγώνου $\vartriangle ABC$ είναι ο κύκλος Euler του τριγώνου $\vartriangle {{I}_{a}}{{I}_{b}}{{I}_{c}}$ και συνεπώς ${R}'=2R:\left( 2 \right)$ . Για το εμβαδόν του $\vartriangle {{I}_{a}}{{I}_{b}}{{I}_{c}}$ έχουμε:
$\left( {{I}_{a}}{{I}_{b}}{{I}_{c}} \right)=\dfrac{{a}'{b}'{c}'}{4{R}'}:\left( 3 \right)$ και ισχύει: ${a}'=2{R}'\sin \left( \angle {{I}_{a}} \right)\overset{\angle {{I}_{a}}=\dfrac{\pi }{2}-\dfrac{A}{2},\left( 2 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,{a}'=4R\cos \dfrac{A}{2}$ και με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι ${b}'=4R\cos \dfrac{B}{2},{c}'=4R\cos \dfrac{C}{2}$ άρα ο τύπος $\left( 3 \right)$ δίνει
$\left( {{I}_{a}}{{I}_{b}}{{I}_{c}} \right)=\dfrac{{{4}^{3}}{{R}^{3}}\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{C}{2}}{8R}\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\left( {{I}_{a}}{{I}_{b}}{{I}_{c}} \right)=\dfrac{{{4}^{3}}{{R}^{3}}\dfrac{\tau }{4R}}{8R}=2R\tau =ct$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί

Lymperis Karras · #3

S.E.Louridas έγραψε: Παρ Δεκ 10, 2021 9:25 pm Αποδείξτε ότι για όλα τα ισοπερίμετρα τρίγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε δοθέντα κύκλο, το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα παράκεντρα καθενός από τα τρίγωνα είναι σταθερό.

Άλλη μια άποψη, αμιγώς γεωμετρική.

Έστω $\tau, ct$ η ημιπερίμετρος του $\triangle ABC$ , και

η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του (κύκλος Euler

).

Ως γνωστόν, R = 2r, ct

, όπου

η ακτίνα του μεγάλου κύκλου.

Θα είναι $I_{A}O\perp CB, I_{B}O \perp CA, I_{C}O \perp AB$ (γνωστή πρόταση)

Οι διαγώνιοι των τετραπλεύρων $I_{A}COB, I_{B}AOC, I_{C}BOA$ είναι λοιπόν κάθετες μεταξύ τους.

Άρα θα έχουμε $(I_{A}I_{B}I_{C}) = (I_{A}COB) + ( I_{B}AOC) + (I_{C}BOA) = \dfrac{R \cdot BC}{2} + \dfrac{R \cdot AC}{2} + \dfrac{R \cdot AB}{2} = 2r\tau, ct$

: σταθερό_σλ.png (65.75 KiB) Προβλήθηκε 842 φορές

Απόδειξη της γνωστής πρότασης:

: γνωστή_πρόταση.png (56.87 KiB) Προβλήθηκε 842 φορές

#4

Lymperis Karras έγραψε: Σάβ Δεκ 11, 2021 6:53 pm
S.E.Louridas έγραψε: Παρ Δεκ 10, 2021 9:25 pm Αποδείξτε ότι για όλα τα ισοπερίμετρα τρίγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε δοθέντα κύκλο, το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα παράκεντρα καθενός από τα τρίγωνα είναι σταθερό.
Άλλη μια άποψη, αμιγώς γεωμετρική.

Έστω $\tau, ct$ η ημιπερίμετρος του $\triangle ABC$ , και η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του (κύκλος ).

Ως γνωστόν, , όπου η ακτίνα του μεγάλου κύκλου.

Θα είναι $I_{A}O\perp CB, I_{B}O \perp CA, I_{C}O \perp AB$ (γνωστή πρόταση)

Οι διαγώνιοι των τετραπλεύρων $I_{A}COB, I_{B}AOC, I_{C}BOA$ είναι λοιπόν κάθετες μεταξύ τους.

Άρα θα έχουμε $(I_{A}I_{B}I_{C}) = (I_{A}COB) + ( I_{B}AOC) + (I_{C}BOA) = \dfrac{R \cdot BC}{2} + \dfrac{R \cdot AC}{2} + \dfrac{R \cdot AB}{2} = 2r\tau, ct$

σταθερό_σλ.png

Απόδειξη της γνωστής πρότασης:

γνωστή_πρόταση.png

Αποδείξτε ότι .....

Αποδείξτε ότι .....

Re: Αποδείξτε ότι .....

Re: Αποδείξτε ότι .....

Re: Αποδείξτε ότι .....

Μέλη σε σύνδεση