mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 19, 2021 8:45 am**

Χαιρετώ. Η αφορμή δόθηκε από πρόσφατο θέμα.

: 19-12 οξείες γωνίες.png (96.6 KiB) Προβλήθηκε 920 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει $\widehat{A}=90^o$ , BC=4 cm

και $(BAC)=2\Phi cm^2$ ενώ AB>AC

.

Να βρεθούν οι γωνίες $\widehat{B}$ και $\widehat{C}$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 19, 2021 9:37 am**

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Κυρ Δεκ 19, 2021 8:45 am Χαιρετώ. Η αφορμή δόθηκε από πρόσφατο θέμα.

19-12 οξείες γωνίες.png

Το τρίγωνο έχει $\widehat{A}=90^o$ , και $(BAC)=2\Phi cm^2$ ενώ .

Να βρεθούν οι γωνίες $\widehat{B}$ και $\widehat{C}$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλημέρα!

: Οξείες γωνίες.png (7.66 KiB) Προβλήθηκε 907 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 19, 2021 9:40 am**

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 19, 2021 10:06 am**

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Κυρ Δεκ 19, 2021 8:45 am Χαιρετώ. Η αφορμή δόθηκε από πρόσφατο θέμα.

19-12 οξείες γωνίες.png

Το τρίγωνο έχει $\widehat{A}=90^o$ , και $(BAC)=2\Phi cm^2$ ενώ .

Να βρεθούν οι γωνίες $\widehat{B}$ και $\widehat{C}$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

.

: Να βρεθούν οι οξείες γωνίες_κατασκευή.png (20.05 KiB) Προβλήθηκε 903 φορές

.
Το ύψος,

. προς την υποτείνουσα είναι προφανώς $\varphi$ .

Αν $DC = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OD = k$ επειδή ${\varphi ^2} = x\left( {4 - x} \right) \Rightarrow x = 2 - \sqrt {4 - {\varphi ^2}}$ και άρα $k = \sqrt {4 - {\varphi ^2}}$ .

Αν τώρα

το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου $\overline {BOC}$ , θεωρώ

την προβολή του

στην

.

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle TAM$ έχω: ${\left( {2 - \phi } \right)^2} + {k^2} = M{A^2} \Rightarrow \boxed{MA = 2\sqrt {2 - \varphi } = \sqrt 5 - 1 = {\lambda _{10}}}$ .

Άρα: $\boxed{\widehat {{\theta _{}}} = 18^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\alpha _1}} = 27^\circ \,\,,\,\,\,\widehat {{\alpha _2}} = 63^\circ }$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 19, 2021 10:16 am**

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Κυρ Δεκ 19, 2021 8:45 am Χαιρετώ. Η αφορμή δόθηκε από πρόσφατο θέμα.

19-12 οξείες γωνίες.png

Το τρίγωνο έχει $\widehat{A}=90^o$ , και $(BAC)=2\Phi cm^2$ ενώ .

Να βρεθούν οι γωνίες $\widehat{B}$ και $\widehat{C}$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Έστω

το μέσο της

και

το ύψος.

: Οξείες γωνίες.β.png (11.19 KiB) Προβλήθηκε 902 φορές

$\displaystyle (ABC) = 2\Phi \Leftrightarrow h = \Phi$ και $\displaystyle \sin \theta = \frac{h}{2} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{4} \Leftrightarrow \theta = 54^\circ,$

οπότε $\widehat B = 27^\circ$ και $\widehat C = 63^\circ.$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 19, 2021 11:34 am**

Καλημέρα! Να ευχαριστήσω βεβαίως τους αγαπητούς Γιώργο και Νίκο για τις ...

αυθωρεί εκτελέσεις !! του παρόντος. Επειδή η δική μου λύση είναι κοντά σ' αυτή του Γιώργου,
θάθελα να δώσουμε (θαρρώ πως συμφωνεί κι' ο συνονόματος) ένα επιπλέον

στον Νίκο

για την <<σύλληψη>> του ως άνω όντως βοηθητικού σχήματος!

Έτσι εμφανίζεται η χορδή-πλευρά $\lambda _{10}$ , την οποία ..

..(καλο)βλέπει η γνωστή μας

άρα!..Φιλικά, Γιώργος.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 19, 2021 7:10 pm**

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Κυρ Δεκ 19, 2021 8:45 am Χαιρετώ. Η αφορμή δόθηκε από πρόσφατο θέμα.

19-12 οξείες γωνίες.png

Το τρίγωνο έχει $\widehat{A}=90^o$ , και $(BAC)=2\Phi cm^2$ ενώ .

Να βρεθούν οι γωνίες $\widehat{B}$ και $\widehat{C}$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλησπέρα

Υπάρχει αμιγώς Τριγωνομετρική λύση την αφήνω....για να γίνει με Ευκλείδεια Γεωμετρία

Εφόσον είναι γνωστό το αθροισμα των γωνιών B,C

αρκεί να υπολογίσουμε τη διαφορά τους .

$OK\perp BC,\hat{ABC}=\omega =\hat{LCA},\hat{ALC}=2\omega , \hat{C}-\hat{B}=\hat{LCA}=\hat{KOA}=\hat{TOK},$

Από το εγράψιμο τετράπλευρο $ALOC,BL.c=8\Leftrightarrow BL=\dfrac{8}{c},(1),$
Από την υπόθεση

$b.c=4 \Phi ,(2), (1),(2)\Rightarrow \dfrac{b}{LB}=\dfrac{b}{CL}= \dfrac{cb}{8}=\dfrac{4\Phi }{8}=cos\hat{LCA}$

$AK^{2}=4(2-\Phi )\Leftrightarrow AK=2\sqrt{2-\Phi }=\dfrac{2}{\Phi }$

Η τελευταία ισότητα αποδεικνύεται με τετραγωνισμό εφόσον $\Phi ^{2}=\Phi +1$

Ομως $\lambda _{10}=\dfrac{2}{\Phi },$

Οπότε $\hat{C}-\hat{B}=36^{0},\hat{C}=63^{0},\hat{B}=27^{0}$