Ὅριο ὁλοκληρώματος τριγωνομετρικῆς σειρᾶς

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f:[0,1]\to\mathbb R$ συνεχής. Δείξατε ὅτι

$\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\int_0^1 f(x)\big(\sin (\pi x)+\sin (2\pi x)+\cdots+\sin (n\pi x)\big)\,dx=0. }$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: Δευ Δεκ 20, 2021 11:27 am ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f:[0,1]\to\mathbb R$ συνεχής. Δείξατε ὅτι

$\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\int_0^1 f(x)\big(\sin (\pi x)+\sin (2\pi x)+\cdots+\sin (n\pi x)\big)\,dx=0. }$

Μιας και κάνω τον κόπο θα δείξω το ισχυρότερο

Ἔστω $f:[0,1]\to\mathbb R$ Lebesgue ολοκληρώσιμη συνάρτηση συνεχής στο

.
Ισχύει ότι
$\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln n}\int_0^1 f(x)\big(\sin (\pi x)+\sin (2\pi x)+\cdots+\sin (n\pi x)\big)\,dx=\frac{1}{\pi }f(0). }$

Θέτουμε $\displaystyle g_n(x)=\sum_{k=1}^{n}\sin k\pi x$
Πρόκειται για τον συζηγή πυρήνα του Dirichlet λιγο ''πειραγμένο''.

Είναι εύκολο και γνωστό ότι
$\displaystyle g_n(x)=\dfrac{\cos \frac{\pi x}{2}-\cos (n+\frac{1}{2})\pi x}{2\sin \frac{\pi x}{2}}$
Αμεσα βλέπουμε ότι
$\displaystyle |g_n(x)|\leq n,|g_n(x)|\leq \frac{1}{x} for0<x<1$ (1)
και ότι
$\displaystyle \frac{\int_{0}^{1}g_n(x)dx}{\ln n}\rightarrow \frac{1}{\pi }$ (2)

Γράφουμε
$\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)g_n(x)dx=\int_{0}^{1}(f(x)-f(0))g_n(x)dx+f(0)\int_{0}^{1}g_n(x)dx$
(3)

Αφού η συνάρτηση είναι συνεχής για $\epsilon >0$ υπάρχει $0<\delta$ ώστε
$0<x<\delta \Rightarrow |f(x)-f(0)|<\epsilon$

Γράφουμε
$\displaystyle \int_{0}^{1}(f(x)-f(0))g_n(x)dx=\int_{0}^{\frac{1}{n}}+\int_{\frac{1}{n}}^{\delta }+\int_{\delta }^{1}$ (4)

Το τελευταίο για δοσμένο $\delta$ φράσσεται απόλυτα από μια σταθερά.
Παίρνοντας απόλυτες τιμές στην (4) και επειδή

$\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{n}}|(f(x)-f(0))g_n(x)|dx\leq \epsilon n\frac{1}{n}=\epsilon$

$\displaystyle \int_{\frac{1}{n}}^{\delta }|(f(x)-f(0))g_n(x)|dx\leq \epsilon \int_{\frac{1}{n}}^{\delta }\frac{1}{x}dx=\epsilon (\ln \delta +\ln n)$
παίρνουμε ότι
$\displaystyle \dfrac{\int_{0}^{1}(f(x)-f(0))g_n(x)dx}{\ln n}\rightarrow 0$

Διαιρώντας την (3) με $\ln n$ και λαμβάνοντας υπ οψιν την τελευταία και την (2)
παίρνουμε αυτό που θέλουμε.

Ὅριο ὁλοκληρώματος τριγωνομετρικῆς σειρᾶς

Ὅριο ὁλοκληρώματος τριγωνομετρικῆς σειρᾶς

Re: Ὅριο ὁλοκληρώματος τριγωνομετρικῆς σειρᾶς

Μέλη σε σύνδεση