Πολλά κλάσματα...

#1

Αν

$\displaystyle{S=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{99\cdot 100}}$ ,

και

$\displaystyle{T=\frac{1}{51\cdot 100}+\frac{1}{52\cdot 99}+...+\frac{1}{99\cdot 52}+\frac{1}{100\cdot 51}}$ .

να γράψετε σε ανάγωγη μορφή το κλάσμα $\displaystyle \frac{S}{T}$ .

Ορέστης Λιγνός · #2

socrates έγραψε: Παρ Δεκ 31, 2021 6:15 pm Αν

$\displaystyle{S=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{99\cdot 100}}$ ,

και

$\displaystyle{T=\frac{1}{51\cdot 100}+\frac{1}{52\cdot 99}+...+\frac{1}{99\cdot 52}+\frac{1}{100\cdot 51}}$ .

να γράψετε σε ανάγωγη μορφή το κλάσμα $\displaystyle \frac{S}{T}$ .

Έστω $\displaystyle H_n=\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i}$ το

οστό αρμονικό άθροισμα.

Είναι, $S=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+\ldots+\dfrac{1}{99\cdot 100}}=(\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{99})-(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{100})$ , καθώς $\dfrac{1}{i(i+1)}=\dfrac{(i+1)-i}{i(i+1)}=\dfrac{1}{i}-\dfrac{1}{i+1}$ για κάθε

.

Επίσης, $\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{99}=H_{100}-\dfrac{1}{2} \cdot H_{50}$ και $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{100}=\dfrac{1}{2} \cdot H_{50}$ , άρα τελικά $S=H_{100}-H_{50}$ .

Επίσης, $151T=\dfrac{151}{51\cdot 100}+\dfrac{151}{52\cdot 99}+\ldots+\dfrac{151}{99\cdot 52}+\dfrac{151}{100\cdot 51}$ , οπότε κάθε όρος είναι της μορφής $\dfrac{i+j}{ij}$ με i+j=151

, συνεπώς $151T=(\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+\ldots+\dfrac{1}{100})+(\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{99}+\ldots+\dfrac{1}{51})=2(H_{100}-H_{50})$ .

Τελικά, προκύπτει ότι $T=\dfrac{2}{151} \cdot (H_{100}-H_{50})$ , και άρα καταλήγουμε ότι $\dfrac{S}{T}=\dfrac{151}{2}$ .

Πολλά κλάσματα...

Πολλά κλάσματα...

Re: Πολλά κλάσματα...

Μέλη σε σύνδεση