Να βρεθεί ο τύπος

#1

Να βρεθεί ο τύπος της $\displaystyle f$ γνωρίζοντας ότι
$\displaystyle f(x)=2x-2{{\left( \int_{0}^{1}{f(x)dx} \right)}^{2}}$

#2

exdx έγραψε: Κυρ Ιαν 23, 2022 12:30 am Να βρεθεί ο τύπος της $\displaystyle f$ γνωρίζοντας ότι
$\displaystyle f(x)=2x-2{{\left( \int_{0}^{1}{f(x)dx} \right)}^{2}}$

Η συνάρτηση είναι της μορφής f(x)=2x-2a

για κάποια σταθερά

. Το βάζουμε πίσω στον τύπο, οπότε

$f(x) = 2x-2{{\left( \int_{0}^{1}(2x-2a)dx} \right)}^{2}}= 2x-2(1-2a)^2$ .

Συγκρίνοντας τα δύο έπεται ότι a= (1-2a)^2

, άρα

ή $a=\frac {1}{4}$ . Δηλαδή είναι f(x) = 2x-2

ή $f(x) = 2x- \frac {1}{2}$ . Τέλος ελέγχουμε ποια ικανοποιεί την αρχική (και οι δύο δεκτές).

#3

exdx έγραψε: Κυρ Ιαν 23, 2022 12:30 am Να βρεθεί ο τύπος της $\displaystyle f$ γνωρίζοντας ότι
$\displaystyle f(x)=2x-2{{\left( \int_{0}^{1}{f(x)dx} \right)}^{2}}$

Άλλος τρόπος: Για τυπογραφική ευκολία γράφουμε $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = I$ , οπότε η υπόθεση γίνεται $f(x)=2x-2I^2 \, (*)$ .

Ολοκληρώνουμε την τελευταία από

έως

, οπότε γίνεται I= 1-2I^2

. Λύνοντας είναι I=-1

ή $I = \dfrac {1}{2}$ . Θέτοντας αυτές τις τιμές πίσω στην (*)

, γίνεται

ή $f(x) = 2x- \dfrac {1}{2}$ . Και οι δύο επαληθεύουν τη εξίσωση, οπότε είναι δεκτές,

Να βρεθεί ο τύπος

Να βρεθεί ο τύπος

Re: Να βρεθεί ο τύπος

Re: Να βρεθεί ο τύπος

Μέλη σε σύνδεση