Σμίκρυνση

KARKAR · #1

: Σμίκρυνση.png (12.89 KiB) Προβλήθηκε 578 φορές

Στις πλευρές AB , BC

τριγώνου

, θεωρούμε σημεία M , N

, ώστε : $AM=\dfrac{AB}{2} , BN=\dfrac{BC}{3}$ .

Πώς να επιλέξουμε σημείο

της

, ώστε αν οι AN , BL , CM

τεμνόμενες σχηματίζουν το τρίγωνο SPT

,

να προκύπτει : $(SPT)=\dfrac{1}{10}(ABC)$ ;

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Φεβ 11, 2022 8:32 am Σμίκρυνση.pngΣτις πλευρές τριγώνου , θεωρούμε σημεία , ώστε : $AM=\dfrac{AB}{2} , BN=\dfrac{BC}{3}$ .

Πώς να επιλέξουμε σημείο της , ώστε αν οι τεμνόμενες σχηματίζουν το τρίγωνο ,

να προκύπτει : $(SPT)=\dfrac{1}{10}(ABC)$ ;

Έχουμε δει αρκετέ φορές στο

τον τύπο $\displaystyle \frac{{(SPT)}}{{(ABC)}} = \frac{{{{(lmn - 1)}^2}}}{{(lm + l + 1)(mn + m + 1)(nl + n + 1)}}$

με $\displaystyle \frac{{NB}}{{NC}} = l,\frac{{LC}}{{LA}} = m,\frac{{MA}}{{MB}} = n.$ Στην περίπτωσή μας $n=1, l=\dfrac{1}{2}.$ Με αντικατάσταση λοιπόν έχουμε:

: Σμίκρυνση.png (11.15 KiB) Προβλήθηκε 562 φορές

$\displaystyle \frac{1}{{10}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{1}{2}m - 1} \right)}^2}}}{{\dfrac{{m + 3}}{2} \cdot (2m + 1) \cdot \dfrac{5}{2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{m=\frac{1}{3}}$

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Φεβ 11, 2022 8:32 am Σμίκρυνση.pngΣτις πλευρές τριγώνου , θεωρούμε σημεία , ώστε : $AM=\dfrac{AB}{2} , BN=\dfrac{BC}{3}$ .

Πώς να επιλέξουμε σημείο της , ώστε αν οι τεμνόμενες σχηματίζουν το τρίγωνο ,

να προκύπτει : $(SPT)=\dfrac{1}{10}(ABC)$ ;

Υπόψη ότι έχουμε έτοιμο τύπο που δίνει το εμβαδόν του εσωτερικού τριγώνου από τις σεβιανές. Ονομάζεται θεώρημα Routh (βλέπε π.χ. εδώ) το οποίο σίγουρα έχουμε συναντήσει στο φόρουμ και το οποίο θα έπρεπε να ήταν ευρύτερα γνωστό.

Edit: Ουπς, με πρόλαβε ο Γιώργος.

#4

Να συμπληρώσω ότι τον τύπο αυτό τον γνώρισα για πρώτη φορά ως μαθητής στο βιβλίο Γεωμετρία του γιάννη ντάνη.

Είναι το λυμένο πρόβλημα 774

στη σελίδα 291.

Στο αμέσως προηγούμενο πρόβλημα 773

δίνει και τον τύπο:

$\displaystyle \frac{{(MNL)}}{{(ABC)}} = \frac{{lmn + 1}}{{(l + 1)(m + 1)(n + 1)}}$

#5

george visvikis έγραψε: Παρ Φεβ 11, 2022 10:15 am Γεωμετρία του γιάννη ντάνη

Αθάνατο βιβλίο.

Σμίκρυνση

Σμίκρυνση

Re: Σμίκρυνση

Re: Σμίκρυνση

Re: Σμίκρυνση

Re: Σμίκρυνση

Μέλη σε σύνδεση