Ένα θέμα

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλημέρα.
Βάζω ένα θέμα που θα μπορούσε να μπεί στο φάκελο "θέματα με απαιτήσεις" αλλά λόγω των συνθηκών το βάζω προσωρινά εδώ. Θέμα που έχει πέσει σε εξετάσεις BAC.

Έστω η ακολουθία των συναρτήσεεων $\displaystyle{{f_\nu }}$ με $\displaystyle{{f_\nu }(x) = \frac{{\nu - \ell nx}}{x}}$ , $\displaystyle{\nu \in {\rm N}}$ .
1. Να βρεθούν οι ρίζες $\displaystyle{{x_\nu }}$ της εξίσωσης $\displaystyle{{\left( {{f_\nu }(x)} \right)^\prime } = 0}$ .
2. Να υπολογισθεί το $\displaystyle{{y_\nu } = {f_\nu }\left( {{x_\nu }} \right)}$ .
3. Να αποδείξετε ότι τα σημεία $\displaystyle{{M_\nu }\left( {{x_\nu },{y_\nu }} \right)}$ , ως προς ένα ορθοκανονικό σύστημα, για κάθε $\displaystyle{\nu \in {\rm N}}$ , ανήκουν σε κωνική τομή της οποίας να βρεθεί η εξίσωση.
4. Αν $\displaystyle{{S_\nu } = \sum\limits_{\kappa = 0}^\nu {{y_\nu }} }$ να υπολογισθεί το $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{\nu \to + \infty } {S_\nu }}$ .
5. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_e^{{e^3}} {\frac{{1 - \ell nx}}{x}dx} }$

Θωμάς

#2

Πάμε μια λύση.

1)
Είναι:

$\displaystyle{ (f_\nu (x))' = \frac{{ - 1 - \nu + \ln x}}{{x^2 }},x > 0 }$

η οποία έχει ρίζες:

$\displaystyle{ x_\nu = e^{\nu + 1} }$

2) Τα αντίστοιχα yν είναι:

$\displaystyle{ y_\nu = - \frac{1}{{e^{\nu + 1} }} }$

3) Για τα σημεία Μν ισχύει:

$\displaystyle{ y_\nu = - \frac{1}{{x_\nu }},x_\nu > 0 }$

αρα ανήκουν στον ένα κλάδο της υπερβολής y=-1/x

4) Είναι άθροισμα ν+1 όρων(εδώ Θωμά κάπου τα χαλάμε με τον τελεστή στο άθροισμα αλλά την κάνω την προσπάθεια) Γ.Π με λόγο -1/e
Αρα:

$\displaystyle{ S_\nu = - \frac{1}{e} \cdot \frac{{\left( { - \frac{1}{e}} \right)^{\nu + 1} - 1}}{{ - \frac{1}{e} - 1}} = \frac{{\left( { - \frac{1}{e}} \right)^{\nu + 1} - 1}}{{e + 1}} }$
Το όριο δίνει:

$\displaystyle{ - \frac{1}{{e + 1}} }$
(Αφού το -1/e είναι απολύτως μικρότερο απο τη μονάδα)

5)

Για το ολοκλήρωμα αρκεί να θέσουμε y=lnx και με αλλαγή των ορίων έχω:

$\displaystyle{ \int\limits_e^{e^3 } {\frac{{1 - \ln x}}{x}dx = \int\limits_1^3 {(1 - y)dy = ... = - 2} } }$

Ένα θέμα

Ένα θέμα

Re: Ένα θέμα

Μέλη σε σύνδεση