Ανισότητα

#1

Να δείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{2^3+1}{2^3-1}\cdot \frac{3^3+1}{3^3-1}\cdot ... \frac{n^3+1}{n^3-1}<\frac{3}{2}}$

για κάθε θετικό ακέραιο

με $n\geq 2.$

#2

socrates έγραψε: Σάβ Μαρ 05, 2022 11:36 pm Να δείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{2^3+1}{2^3-1}\cdot \frac{3^3+1}{3^3-1}\cdot ... \frac{n^3+1}{n^3-1}<\frac{3}{2}}$

για κάθε θετικό ακέραιο με $n\geq 2.$

Επαγωγικά μπορούμε να δείξουμε ότι το αριστερό μέλος ισούται $\displaystyle{\frac{3}{2}\cdot \frac{n(n+1)}{n^2+n+1}\, (*)$ . Πράγματι για n=2

άμεσο.

Για το επαγωγικό βήμα, με χρήση των $a^3+1=(a+1)(a^2-a+1),\, a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$ , έχουμε έναν ακόμα παράγοντα, τον

$\dfrac {(n+1)^3+1}{(n+1)^3-1} = \dfrac {(n+1+1)((n+1)^2-(n+1)+1}{(n+1-1)((n+1)^2+(n+1)+1}= \dfrac {(n+2)(n^2+n+1)}{n((n+1)^2+(n+1)+1)}$ .

Aν πολλαπλασιάσουμε αυτό επί το προηγούμενο, δίνει $\displaystyle{\frac{3}{2}\cdot \frac{(n+1)(n+2)}{(n+1)^2+(n+1)+1}$ , που είναι ο σωστός επόμενος όρος.

Τελικά, επειδή o δεξιός παράγοντας της (*)

είναι

, έπεται το ζητούμενο.

Ορέστης Λιγνός · #3

socrates έγραψε: Σάβ Μαρ 05, 2022 11:36 pm Να δείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{2^3+1}{2^3-1}\cdot \frac{3^3+1}{3^3-1}\cdot ... \frac{n^3+1}{n^3-1}<\frac{3}{2}}$

για κάθε θετικό ακέραιο με $n\geq 2.$

Μια λύση που σίγουρα δεν είναι η ενδεδειγμένη, αλλά αναδεικνύει μια όμορφη μέθοδο:

Ψάχνουμε συνάρτηση f(n)

, η οποία να παίρνει μόνο θετικές τιμές και να είναι τέτοια ώστε

$\displaystyle{\frac{2^3+1}{2^3-1}\cdot \frac{3^3+1}{3^3-1}\cdot ... \frac{n^3+1}{n^3-1}<\dfrac{3}{2}-f(n)$

Θα χρησιμοποιήσουμε επαγωγή και θα περιγράψουμε τις ιδιότητες που πρέπει να έχει η συνάρτηση

για να δουλέψει τόσο η βάση της επαγωγής, όσο και το επαγωγικό βήμα.

Για το επαγωγικό βήμα έχουμε ότι

$\displaystyle{\frac{2^3+1}{2^3-1}\cdot \frac{3^3+1}{3^3-1}\cdot ... \frac{n^3+1}{n^3-1}<\dfrac{3}{2}-f(n)$

και θέλουμε να ισχύει

$\displaystyle{\frac{2^3+1}{2^3-1}\cdot \frac{3^3+1}{3^3-1}\cdot ... \frac{(n+1)^3+1}{(n+1)^3-1}<\dfrac{3}{2}-f(n+1),$

άρα αρκεί να έχουμε

$(\dfrac{3}{2}-f(n)) \cdot \dfrac{(n+1)^3+1}{(n+1)^3-1}<\dfrac{3}{2}-f(n+1),$

που γράφεται ως

$\dfrac{\dfrac{3}{2}-f(n+1)}{\dfrac{3}{2}-f(n)}>\dfrac{(n+1)^3+1}{(n+1)^3-1},$

ή ισοδύναμα

$\dfrac{f(n)-f(n+1)}{3-2f(n)}>\dfrac{1}{(n+1)^3-1}$

Έστω, g(n)=3-2f(n)

, οπότε, αφού g(2)=3-2f(2)

, πρέπει $g(2)>\dfrac{18}{7}$ και η πιο πάνω γράφεται

$\dfrac{g(n+1)-g(n)}{g(n)}>\dfrac{2}{(n+1)^3-1},$

άρα θέλουμε

$\dfrac{g(n+1)}{g(n)}>\dfrac{2}{(n+1)^3-1}+1$

Επομένως, η συνάρτηση

πρέπει να έχει τις εξής ιδιότητες:

α) g(n)<3

, για κάθε

(καθώς

), και
β) $\dfrac{g(n+1)}{g(n)}>\dfrac{2}{(n+1)^3-1}+1$

Θα επιλέξουμε την

ώστε $g(n) \rightarrow 3$ όταν $n \rightarrow +\infty$ . Μια λογική επιλογή είναι η $g(n)=3-\dfrac{1}{c n}$ με

σταθερά. Αν c=2

, η

εύκολα ελέγχεται ότι ικανοποιεί την πρώτη ιδιότητα

Για την δείξουμε, αρκεί να δείξουμε ότι

$\dfrac{3-\dfrac{1}{2n+2}}{3-\dfrac{1}{2n}}>\dfrac{2}{(n+1)^3-1}$ ,

η οποία γράφεται μετά τις πράξεις

n^3-9n^2-7n+2>0,

που για $n \geq 10$ , ισχύει.

Οπότε, έχουμε το επαγωγικό βήμα για $n \geq 10$ , και απλά επαληθεύουμε ότι ισχύει η

$\displaystyle{\frac{2^3+1}{2^3-1}\cdot \frac{3^3+1}{3^3-1}\cdot ... \frac{n^3+1}{n^3-1}<\dfrac{3}{2}-f(n)$

για n=10

, όπου $f(n)=\dfrac{1}{4n}$ και η

$\dfrac{2^3+1}{2^3-1}\cdot \dfrac{3^3+1}{3^3-1}\cdot ... \dfrac{n^3+1}{n^3-1}<\dfrac{3}{2}$

για $n \leq 9$ . Σαφώς αρκεί να το δείξουμε για n=9

. Αυτό είναι εύκολο, οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση