Προοδευτική ομοιότητα

#1

: Προοδευτική ομοιότητα.png (8.12 KiB) Προβλήθηκε 703 φορές

Στο τρίγωνο ABC

το

είναι σημείο της πλευράς

ώστε τα τρίγωνα CAD, CBA

να είναι όμοια. Προέκυψε ότι

οι AD, DB, BA

είναι διαδοχικοί ακέραιοι, ενώ οι AD, DC, CA

διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Να βρείτε

την πρόοδο και τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ABC.

24 ώρες για μαθητές.

Θερμή παράκληση: Μην δώσετε απευθείας το αποτέλεσμα από τις σχέσεις. Ας φανούν και μερικές πράξεις

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Απρ 05, 2022 6:36 pm
Προοδευτική ομοιότητα.png
Στο τρίγωνο το είναι σημείο της πλευράς ώστε τα τρίγωνα να είναι όμοια. Προέκυψε ότι

οι είναι διαδοχικοί ακέραιοι, ενώ οι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Να βρείτε

την πρόοδο και τα μήκη των πλευρών του τριγώνου

24 ώρες για μαθητές.

Θερμή παράκληση: Μην δώσετε απευθείας το αποτέλεσμα από τις σχέσεις. Ας φανούν και μερικές πράξεις

Ας υποθέσουμε ότι , AD = n - 1

με $n \in {\mathbb{N}^ * } - \left\{ {1,2} \right\}$ τότε :

$DB = n\,,\,BA = n + 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = n - 1 + x\,\,,\,CA = n - 1 + 2x$ με x > 0

Από $\vartriangle CAD \approx \vartriangle CBA \Leftrightarrow \dfrac{{CA}}{{CB}} = \dfrac{{AD}}{{BA}} = \dfrac{{CD}}{{CA}}$ που από τους παραπάνω συμβολισμούς έχω:

: Προοδευτική ομοιότητα.png (16.14 KiB) Προβλήθηκε 632 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \frac{{n - 1 + 2x}}{{2n - 1 + x}} = \frac{{n - 1}}{{n + 1}} \hfill \\ \frac{{n - 1 + x}}{{n - 1 + 2x}} = \frac{{n - 1}}{{n + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 3} \right)}}{{n + 3}}\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ x = \frac{{2\left( {n - 1} \right)}}{{n - 3}}\,\,\left( 2 \right)\,\,\,,n > 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Αφού αναγκαστικά $n \in {\mathbb{N}^ * } - \left\{ {1,2,3} \right\}$ , εξισώνω τα δεύτερα μέλη των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\left( 2 \right)$ και προκύπτει:

${n^2} -7 n = 0 \Rightarrow \boxed{n = 7}$ και από την $\left( 2 \right)$ έχω: $\boxed{x = 3}$

Δηλαδή : $AD = 6\,\,,\,\,DB = 7,\,\,BA = 8\,\,,\,\,CD = 9\,\,,\,\,CA = 12$

: Προοδευτική ομοιότητα_απάντηση.png (11.76 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές

Προοδευτική ομοιότητα

Προοδευτική ομοιότητα

Re: Προοδευτική ομοιότητα

Μέλη σε σύνδεση