Ολοκλήρωμα ανεξάρτητο της παραμέτρου

#1

Μία συνεχής συνάρτηση $f:(0,\, +\infty) \longrightarrow \mathbb R$ έχει την ιδιότητα ότι για κάθε a>0

και για κάθε x>0

, το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\int _a^{ax}f(t)dt}$

είναι ανεξάρτητο του

. Βρείτε την

.

#2

Έστω $\displaystyle{F}$ μια αρχική της $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{(0,+\infty).}$

Είναι

$\displaystyle{F(ax)-F(a)=g(x)}$ για κάθε $\displaystyle{a>0,x>0}$ .

Παραγωγίζοντας ως προς $\displaystyle{a}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{xF'(ax)=F'(a)}$ για κάθε $\displaystyle{a>0,x>0.}$

Για $\displaystyle{a=1}$ έχουμε $\displaystyle{F'(x)=\frac{c}{x},x>0,}$ οπότε $\displaystyle{F(x)=c\ln x.}$

Άρα $\displaystyle{f(x)=\frac{c}{x}.}$

#3

Μικρή παραλλαγή.

Παραγωγίζοντας ως προς

βρίσκουμε

. Βάζοντας $x=\dfrac {1}{a}$ βρίσκουμε (για κάθε a>0

) ότι $\dfrac {1}{a} f(1) = f(a)$ . Με άλλα λόγια $f(a) = \dfrac {f(1)}{a} = \dfrac {c}{a}$ . Αν θέλουμε, αλλάζουμε τώρα το

σε

.

Ολοκλήρωμα ανεξάρτητο της παραμέτρου

Ολοκλήρωμα ανεξάρτητο της παραμέτρου

Re: Ολοκλήρωμα ανεξάρτητο της παραμέτρου

Re: Ολοκλήρωμα ανεξάρτητο της παραμέτρου

Μέλη σε σύνδεση