Θεματα Γενικής 2010

#1

Μόλις δημοσιεύθηκαν τα θέματα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας τα οποία επισυνάπτω.

Καλά αποτελέσματα στους συμμετέχοντες!

Αλέξανδρος

Ιστοσελίδα · #2

ξεκινάω με το δεύτερο θέμα

ΘΕΜΑ 2ο

Β1 Για $\displaystyle{x \ne 1}$ έχουμε :

$\displaystyle{ \frac{{f(x) - 1}}{{x - 1}} = \frac{{2\sqrt {x^2 - x + 1} - 1 - 1}}{{x - 1}} = \frac{{2(\sqrt {x^2 - x + 1} - 1)}}{{x - 1}} = }$
$\displaystyle{ = \frac{{2x(x - 1)}}{{(x - 1)(\sqrt {x^2 - x + 1} + 1)}} = \frac{{2x}}{{\sqrt {x^2 - x + 1} + 1}} = }$

επομένως

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2x}}{{\sqrt {x^2 - x + 1} + 1}} = 1 }$

Β2 Για κάθε x πραγματικό αριθμό έχουμε:
$\displaystyle{ f^{\prime}(x)}$ $\displaystyle{ = \frac{{2x - 1}}{{\sqrt {x^2 - x + 1} }} }$
επομένως
$\displaystyle{f^{\prime}(0)= - 1}$

Β3 Αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη με τον οριζόντιο άξονα έχουμε ότι εφω = - 1 δηλαδή ω = 135.

#3

Οι ορισμοί στο Α3 είναι οκ;

Α.Κυριακόπουλος · #4

rek2 έγραψε:Οι ορισμοί στο Α3 είναι οκ;

Η δική σου γνώμη ποια είναι;

Μάκης Χατζόπουλος · #5

Το θέμα Γ μοιάζει με το θέμα που είχα βάλει εδώ (δείτε το θέμα 1) viewtopic.php?f=18&t=5806!!

Δίνω συνοπτικές λύσεις,

Γ1) Αρχικά η πρώτη κλάση είναι $\displaystyle{ [0,c) }$ ενώ η δεύτερη κλάση είναι της μορφής $\displaystyle{ [c,2c) }$ άρα $\displaystyle{ \frac{{c + 2c}}{2} = 6 \Leftrightarrow 3c = 12 \Leftrightarrow c = 4 }$

οπότε κλάσεις είναι $\displaystyle{ [0,4),\left[ {4,8} \right),\left[ {8,12} \right),\left[ {12,16} \right),\left[ {16,20} \right) }$ και τα κέντρα των κλάσεων είναι: $\displaystyle{ 2,6,10,14,18 }$

Μάκης Χατζόπουλος · #6

Γ2) Η μέση τιμή είναι:

$\displaystyle{ \overline x = \frac{{2 \cdot 20 + 6 \cdot 40 + 10 \cdot 45 + 14 \cdot 30 + 18 \cdot 25}}{{160}} = \frac{{1600}}{{160}} = 10 }$

ενώ η διακύμανση είναι: $\displaystyle{ s^2 = \frac{{\left( {2 - 10} \right)^2 \cdot 20 + \left( {6 - 10} \right)^2 \cdot 40 + \left( {10 - 10} \right)^2 \cdot 20 + \left( {14 - 10} \right)^2 \cdot 20 + \left( {18 - 10} \right)^2 \cdot 20}}{{160}} = \frac{{4000}}{{160}} = 25 }$ (εδώ έδιναν άλλο τύπο, που δεν ξέρω αν διευκολύνει τόσο στις πράξεις)

ενώ η τυπική απόκλιση είναι: $\displaystyle{ s = \sqrt {25} = 5 }$

Γ3) Το δείγμα δεν είναι ομοιογενές αφού, $\displaystyle{ CV = \frac{s}{{\overline x }} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} = 0,5 }$ δηλαδή 50% (μεγαλύτερο του 10%)

ΓΙΑΝΝΗΣ ΒΕΝΙΕΡΗΣ · #7

cretanman έγραψε:Μόλις δημοσιεύθηκαν τα θέματα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας τα οποία επισυνάπτω.

Καλά αποτελέσματα στους συμμετέχοντες!

Αλέξανδρος

Καμία σχέση πάντως με τα περσινά θέματα...!

Μάκης Χατζόπουλος · #8

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Γ2) Η μέση τιμή είναι:

$\displaystyle{ \overline x = \frac{{2 \cdot 20 + 6 \cdot 40 + 10 \cdot 45 + 14 \cdot 30 + 18 \cdot 25}}{{160}} = \frac{{1600}}{{160}} = 10 }$

ενώ η διακύμανση είναι: $\displaystyle{ s^2 = \frac{{\left( {2 - 10} \right)^2 \cdot 20 + \left( {6 - 10} \right)^2 \cdot 40 + \left( {10 - 10} \right)^2 \cdot 20 + \left( {14 - 10} \right)^2 \cdot 20 + \left( {18 - 10} \right)^2 \cdot 20}}{{160}} = \frac{{4000}}{{160}} = 25 }$ (εδώ έδιναν άλλο τύπο, που δεν ξέρω αν διευκολύνει τόσο στις πράξεις)

ενώ η τυπική απόκλιση είναι: $\displaystyle{ s = \sqrt {25} = 5 }$

Γ3) Το δείγμα δεν είναι ομοιογενές αφού, $\displaystyle{ CV = \frac{s}{{\overline x }} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} = 0,5 }$ δηλαδή 50% (μεγαλύτερο του 10%)

Γ4) Εδώ νομίζω ότι υπάρχει ένα θέμα από 7 που λέει η άσκηση έως 14 κιλά, αφού δεν λέει κάπου αν οι παρατηρήσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες, πάντως δίνουμε την απάντηση που ενδείκνεται,

από [4,6) έχουμε 20 παρατηρήσεις, και από [6,8) έχουμε άλλες 20 παρατηρήσεις, οπότε από [7,8) έχουμε 10 παρατηρήσεις, άρα συνολικά από 7 έως 14 κιλά έχουμε 10+45+ 30/2 =10+ 45 +15 =70 παρατηρήσεις

Επομένως η πιθανότητα είναι: 70/160 = 7/16 (από τον ορισμό της κλασσικής πιθανότητας, ευνοϊκές περιπτώσεις προς δυνατές περιπτώσεις)

Ιστοσελίδα · #9

Στο Γ4 οι δυνατές περιπτώσεις είναι :
10 από τη δεύτερη κλάση
45 από την τρίτη
14 από την τέταρτη κλάση
70 σύνολο
άρα η πιθανότητα είναι 7/16

Με πρόλαβε ο Μάκης.
Πάντως Μάκη από τη σχετική παρατήρηση που έχει το βιβλίο σε παράδειγμα στη σελίδα 86 αφήνει να διαφανεί ότι μπορούμε να θεωρούμε ομοιόμορφα κατανεμημένες τις παρατηρήσεις στις κλάσεις...Δε δόθηκε διευκρίνιση;

#10

Χωρίς να γνωρίζω τον τρόπο βαθμολόγησης του Δ1, εκτιμώ ότι η διαδικασία βαθμολόγησής του θα είναι αρκετά επίπονη διαδικασία όπου η ελλιπής δικαιολόγηση στα γραπτά κάποιων μαθητών θα δώσει διαφορετικούς τρόπους βαθμολόγησης από βαθμολογικό σε βαθμολογικό (εννοείται ότι τέτοιο ζήτημα δεν τίθεται για γραπτά που έχουν απαντημένο σωστά το ερώτημα).

Θα πρέπει λοιπόν να δωθούν πολύ συγκεκριμένες οδηγίες για τα παρακάτω βήματα: εύρεση παραγώγου, εύρεση ριζών, απόρριψη της μία ρίζας, πρόσημο του τριωνύμου λαμβάνοντας υπόψη τη συνθήκη $0\leq P(A) \leq 1$ (εδώ κατά τη γνώμη μου θα πρέπει να δωθούν πολύ καλές διευκρινήσεις) και ΤΕΛΙΚΑ εύρεση της μονοτονίας και του ακροτάτου.

Αλέξανδρος

Μάκης Χατζόπουλος · #11

Θέμα Δ
Δ1) Έχουμε, $\displaystyle{ f'\left( x \right) = \frac{{\left( {1 - x + P\left( A \right)} \right)\left( {1 - P\left( A \right) + x} \right)}}{{x - P\left( A \right)}} }$ άρα η $\displaystyle{ f'\left( x \right) > 0 }$ όταν $\displaystyle{ 1 - x + P\left( A \right) > 0 \Leftrightarrow x < 1 + P(A) }$ και αν κάνουμε τον πίνακα μεταβολών βρίσκουμε ότι η f έχει ολικό μέγιστο στο σημείο χ = 1 + Ρ(Α), ενώ είναι γν. αύξουσα στο διάστημα ((Ρ(Α), 1+Ρ(Α)) και γν. φθίνουσα στο (1+Ρ(Α), $\displaystyle{ + \infty }$ )

Gerasimos92 · #12

Μόλις επέστρεψα!

Καλά ήταν τα θέματα, λιγάκι πιο δύσκολα απο πέρσι.

Πιστεύω έγραψα πολύ καλά.

(βρήκα τα αποτελέσματα που βρήκατε και εσείς

)

#13

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Γ2) Η μέση τιμή είναι:

$\displaystyle{ \overline x = \frac{{2 \cdot 20 + 6 \cdot 40 + 10 \cdot 45 + 14 \cdot 30 + 18 \cdot 25}}{{160}} = \frac{{1600}}{{160}} = 10 }$

ενώ η διακύμανση είναι: $\displaystyle{ s^2 = \frac{{\left( {2 - 10} \right)^2 \cdot 20 + \left( {6 - 10} \right)^2 \cdot 40 + \left( {10 - 10} \right)^2 \cdot 20 + \left( {14 - 10} \right)^2 \cdot 20 + \left( {18 - 10} \right)^2 \cdot 20}}{{160}} = \frac{{4000}}{{160}} = 25 }$ (εδώ έδιναν άλλο τύπο, που δεν ξέρω αν διευκολύνει τόσο στις πράξεις)

ενώ η τυπική απόκλιση είναι: $\displaystyle{ s = \sqrt {25} = 5 }$

Γ3) Το δείγμα δεν είναι ομοιογενές αφού, $\displaystyle{ CV = \frac{s}{{\overline x }} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} = 0,5 }$ δηλαδή 50% (μεγαλύτερο του 10%)

Και με τον τυπο που δινανε δεν ειναι τοσο δυσκολα τα νουμερα

Μάκης Χατζόπουλος · #14

Δ2) 'Εχουμε $\displaystyle{ 1 + P\left( A \right) = \frac{5}{3} \Leftrightarrow P\left( A \right) = \frac{2}{3} }$ και $\displaystyle{ f\left( {\frac{5}{3}} \right) = 0 }$ άρα,

$\displaystyle{ \ln \left( {\frac{5}{3} - \frac{2}{3}} \right) - \frac{1}{2}\left( {\frac{5}{3} - \frac{2}{3}} \right)^2 + P\left( B \right) = 0 \Leftrightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{2} }$

Μάκης Χατζόπουλος · #15

Δ3) Έχουμε, $\displaystyle{ P\left( {\left( {A\bigcap B } \right)^\prime } \right) = 1 - P\left( {A\bigcap B } \right) = 1 - P\left( A \right) - P\left( B \right) + P\left( {A\bigcup B } \right) = 1 - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{5}{6} = \frac{2}{3} }$

Δ4) Τέλος,
$\displaystyle{ P\left( {\left( {A - B} \right)\bigcup {\left( {B - A} \right)} } \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - 2P\left( {A\bigcap B } \right) = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 2\frac{1}{3} = \frac{1}{2} }$

Gerasimos92 · #16

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: η διακύμανση είναι: $\displaystyle{ s^2 = \frac{{\left( {2 - 10} \right)^2 \cdot 20 + \left( {6 - 10} \right)^2 \cdot 40 + \left( {10 - 10} \right)^2 \cdot 20 + \left( {14 - 10} \right)^2 \cdot 20 + \left( {18 - 10} \right)^2 \cdot 20}}{{160}} = \frac{{4000}}{{160}} = 25 }$ (εδώ έδιναν άλλο τύπο, που δεν ξέρω αν διευκολύνει τόσο στις πράξεις)

Και εγώ αυτόν τον τύπο χρησιμοποίησα!! Δεν πιστεύω να μου κόψει τίποτα...

Ιστοσελίδα · #17

Εναλλακτικά
Δ4.
Λάθος στις πράξεις...

antonisant1 · #18

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Δ3) Έχουμε, $\displaystyle{ P\left( {\left( {A\bigcap B } \right)^\prime } \right) = 1 - P\left( {A\bigcap B } \right) = 1 - P\left( A \right) - P\left( B \right) + P\left( {A\bigcup B } \right) = 1 - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{5}{6} = \frac{2}{3} }$

Δ4) Τέλος,
$\displaystyle{ P\left( {\left( {A - B} \right)\bigcup {\left( {B - A} \right)} } \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - 2P\left( {A\bigcap B } \right) = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 2\frac{1}{3} = \frac{1}{2 } }$

lonis · #19

Μάκη, σου έφυγε ένα δυαράκι, νομίζω! Το προσθέτω - με την άδειά σου

:

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: $\displaystyle{ P\left( {\left( {A - B} \right)\bigcup {\left( {B - A} \right)} } \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - 2P\left( {A\bigcap B } \right) = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 2\frac{1}{3} = \frac{1}{2} }$

Λεωνίδας

gmouzou · #20

προσοχη στο δ4 το σωστο αποτελεσμα είναι
1/2

Θεματα Γενικής 2010

Θεματα Γενικής 2010

Re: Θεματα Γενικής 2010

Re: Θεματα Γενικής 2010

Re: Θεματα Γενικής 2010

Re: Θεματα Γενικής 2010

Re: Θεματα Γενικής 2010

Re: Θεματα Γενικής 2010

Re: Θεματα Γενικής 2010

Re: Θεματα Γενικής 2010

Re: Θεματα Γενικής 2010

Re: Θεματα Γενικής 2010

Re: Θεματα Γενικής 2010

Re: Θεματα Γενικής 2010

Re: Θεματα Γενικής 2010

Re: Θεματα Γενικής 2010

Re: Θεματα Γενικής 2010

Re: Θεματα Γενικής 2010

Re: Θεματα Γενικής 2010

Re: Θεματα Γενικής 2010

Re: Θεματα Γενικής 2010

Μέλη σε σύνδεση