ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΜΕ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Οι συναρτήσεις $f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ είναι συνεχείς και γνησίως μονότονες με το ίδιο είδος μονοτονίας. Να αποδείξετε ότι ισχύει:
$\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)g(x)dx> \int_{a}^{b}f(a+b-x)g(x)dx.}$

ksofsa · #2

Καλό βράδυ.

Ισοδύναμα έχουμε,μετά από απλές πράξεις:

$\int_{a}^{\frac{a+b}{2}}(f(x)-f(a+b-x))g(x)dx> \int_{\frac{a+b}{2}}^{b}(f(a+b-x)-f(x))g(x)dx$

Κάνουμε στο δεύτερο μέλος την αντικατάσταση x=>a+b-x

και παίρνουμε:

$\int_{a}^{\frac{a+b}{2}}(f(x)-f(a+b-x))g(x)dx> -\int_{\frac{a+b}{2}}^{a}(f(x)-f(a+b-x))g(a+b-x)dx$

Τελικά , γράφουμε:

$\int_{a}^{\frac{a+b}{2}}(f(x)-f(a+b-x))(g(x)-g(a+b-x))dx> 0$ ,

γεγονός που ισχύει λόγω της ίδιας γνήσιας μονοτονίας των f(x),g(x)

.

ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΜΕ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ

ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΜΕ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΜΕ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ

Μέλη σε σύνδεση