Η ανακάλυψη του περίφημου θεωρήματος Morley

[SKuruklis]

Το θεώρημα Morley: Σε ένα τρίγωνο, οι τριχοτόμοι των εσωτερικών γωνιών του, πλησιέστερες στις πλευρές αντίστοιχα, τέμνονται στις κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου.

Θεώρημα Morley: ΔX'Y'Z' ισόπλευρο

MorleyVariantsFig1.jpg (28.82 KiB) Προβλήθηκε 1195 φορές

Ανακαλύφθηκε ως ειδική περίπτωση μιας παρατήρησης που αφορούσε τις τριχοτόμους δύο ακόμα γωνιών, της εξωτερικής και της ολοκληρωτικής (μη κυρτής), που βρίσκονται στο εξωτερικό της εσωτερικής γωνίας. Έτσι υπάρχουν τρία ζεύγη ειδών τριχοτόμων, οι εσωτερικές, οι εξωτερικές και οι ολοκληρωτικές.

Τα τρία είδη τριχοτόμων μιας γωνίας και οι αντίστοιχες τριχοτόμοι, πλησιέστερες (proximal) σε μια πλευρά της γωνίας.

MorleyVariantsFig4.jpg (63.2 KiB) Προβλήθηκε 1195 φορές

Ο Frank Morley γύρω στο 1900, ενώ μελετούσε ένα ανεξάρτητο γεωμετρικό πρόβλημα, ανάμεσα σε περίπλοκες τριτοβάθμιες εξισώσεις διέκρινε ότι:

Παρατήρηση Morley: Οι τριχοτόμοι πλησιέστερες σε μια πλευρά τέμνονται πάνω σε 3 τριάδες παραλλήλων ευθείων που σχηματίζουν ισόπλευρα τρίγωνα.

Οι τριχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου πλησιέστερες σε μια πλευρά τέμνονται σε 3 τριάδες παραλλήλων ευθειών που σχηματίζουν ισόπλευρα τρίγωνα. (Οι εσωτερικές, εξωτερικές και ολοκληρωτικές τριχοτόμοι παρίστανται με πράσινες, μπλε και κόκκινες διακεκομμένες γραμμές).

MorleyVariantsFig5_new.jpg (79.99 KiB) Προβλήθηκε 1195 φορές

Ο Morley παρουσίασε την απόδειξη της παρατήρησης του ως πόρισμα μελέτης καρδιοειδών στο βιβλίο που έγραψε το 1933 με το γιό του Fank Vigor Morley.

Η παρατήρηση Morley συνεπάγεται ότι ισχύουν 18 παραλλαγές του θεωρήματος για κατάλληλους συνδυασμούς ειδών τριχοτόμων. Συγκεκριμένα (από το προηγούμενο σχήμα) συμπεραίνεται ότι:

Σε ένα τρίγωνο. οι τριχοτόμοι των γωνιών, του ίδιου είδους για όλες, ή ενός ξεχωριστού για καθεμιά, ή ενός είδους για μια γωνία και του αντιστοίχου είδους για τις άλλες δύο, πλησιέστερες στις πλευρές αντίστοιχα, τέμνονται στις κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου.

Για το θεώρημα υπάρχουν πάμπολλες αποδείξεις. Είναι ενδιαφέρον να εξεταστεί αν κάποια εξ αυτών μπορεί να γενικευτεί ώστε να αποδειχθούν όλες οι ισχύουσες παραλλαγές του θεωρήματος.

[Ανδρέας Πούλος]

1. Για μια συνοπτική ιστορία του θεωρήματος του Morley δείτε και αυτό το αρχείο με τιίτλο "Is the mystery of Morley's theorem ..."
που δημοσιεύτηκε περιοδικό από το Forum Geometricorum.
2. Μια βιογραφία του F. Morley που έχει πολλές ενδιαφέρουσες πληροφορίες για το έργο του και για το θεώρημά του στη γνωστή ιστοσελίδα για θέματα ισοτρίας Μαθηματικών https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/ ... s/Morley/
3. Φυσικά, την σημαντική εργασία του Νίκου Δεργιαδέ μαζί με έναν Βιετναμέζο συνεργάτη του που αφορά μια γενίκευση του θεωρήματος Morley εδώ:
https://www.heldermann-verlag.de/jgg/jg ... h2derg.pdf
4. Ένα εκτενές αφιέρωμα στο θεώρημα του Morley στο περιοδικό Forum Geometricorum του 1977.
https://cms.math.ca/wp-content/uploads/ ... 10_Dec.pdf

[SKuruklis]

1. Για μια συνοπτική ιστορία του θεωρήματος του Morley δείτε και αυτό το αρχείο με τιίτλο "Is the mystery of Morley's theorem ..."
που δημοσιεύτηκε περιοδικό από το Forum Geometricorum.

Αρχικά να διευκρινίσω ότι στόχος της ανάρτησης δεν είναι μια συνοπτική ιστορική αναφορά στο πασίγνωστο θεώρημα Morley, που αφορά τις εσωτερικές τριχοτόμους των γωνιών ενός τριγώνου, αλλά να τονίσει ότι η παρατήρηση από την την οποία προήλθε συνεπάγεται την ισχύ 18 παραλλαγών του με κατάλληλους συνδυασμούς ειδών τριχοτόμων. Προέρχεται από την διαπίστωση ότι το συντριπτικό μέρος της διεθνούς βιβλιογραφίας εστιάζει στο επί μέρους και σχεδόν αγνοεί το γενικό από το οποίο προήλθε. Μετά την επισήμανση σας η τελευταία πρόταση έχει πλέον έντονη γραφή.

Ανάμεσα στις ελάχιστες προσπάθειες για τις παραλλαγές του θεωρήματος είναι η ιδιόμορφη διαδικασία "extraversion" του John Conway που μετασχηματίζει ένα τρίγωνο Morley σε ένα άλλο. Πιθανότατα γνωρίζετε ότι σ' αυτόν ανήκει μια από τις πιο γνωστές αποδείξεις του θεωρήματος. Αλλά δεν έχω διαβάσει μια παραλλαγή της απόδειξης αυτής που να αφορά για παράδειγμα τις εξωτερικές τριχοτόμους.

Επίσης στην δημοσίευση του Alain Connes "A short proof of Morley's theorem", μετά την απόδειξη που χρησιμοποιεί μη τετριμμένα αποτελέσματα της θεωρίας Ομάδων, υπάρχουν σχόλια. Το μια πρότασης Σχόλιο 1 ισχυρίζεται ότι "με το ίδιο τρόπο αποδεικνύονται ότι όλα τα μη εκφυλισμένα τρίγωνα Morley είναι ισόπλευρα". Δυστυχώς δεν έχω καταφέρει "ο ίδιος τρόπος" να γίνει προφανής.

Ο αγαπητός φίλος Omid έχει κάνει σεβαστό αριθμό δημοσιεύσεων σχετικά με το θεώρημα του Morley. Στο άρθρο του Is The Mystery of Morley’s Trisector Theorem Resolved? (αναφέρει εργασία μου στο [13]), κάνοντας εύστοχες παρατηρήσεις στο θεώρημα των διχοτόμων ενός τριγώνου, επιχειρηματολογεί ότι το μυστήριο του θεωρήματος Morley (πρέπει να θεωρηθεί ότι) έχει λυθεί. Αλλά όλες οι παρατηρήσεις του καταλήγουν στις εσωτερικές τριχοτόμους. Προσωπικά με πείθει για το θεώρημα αλλά όχι για την παρατήρηση του Morley.

[SKuruklis]

2. Μια βιογραφία του F. Morley που έχει πολλές ενδιαφέρουσες πληροφορίες για το έργο του και για το θεώρημά του στη γνωστή ιστοσελίδα για θέματα ισοτρίας Μαθηματικών https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/ ... s/Morley/

Από τις ενδιαφέρουσες πληροφορίες της υποδεικνυόμενης βιογραφίας ξεχωρίζω τις δύο κατά τη γνώμη μου πιο σημαντικές που αναπαράγονται με τα δικά μου λόγια:

Ο Morley ήταν ένας εξαίρετος πατέρας και αξιαγάπητος σύζυγος μιας μουσικού και ποιήτριας. Απέκτησαν τρεις γιους τον Christopher, τον Felix, και τον Frank, που και οι τρεις κέρδισαν την υψηλού κύρους υποτροφία Rhodes. Ο πρώτος έγινε βραβευμένος μυθιστοριογράφος, ο δεύτερος συντάκτης της γνωστότατης εφημερίδας Washington Post και πρόεδρος (1940-45) στο πανεπιστήμιο που είχε διδάξει ο πατέρας του, και ο τρίτος διεύθυνε έναν εκδοτικό οίκο ενώ ως μαθηματικός συνεργάστηκε με το πατέρα του για πάνω από 20 χρόνια.

Συνεισέφερε όσο λίγοι άλλοι στην πρόοδο και ανάπτυξη των μαθηματικών στις Ηνωμένες Πολιτείες ώστε να κατακτήσουν περίοπτη διεθνή αναγνώριση. Ήταν συντάκτης σε 3 από τα πιο αναγνωρισμένα μαθηματικά περιοδικά στην Αμερική και πρόεδρος της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας (1919-20) ενώ κατεύθυνε 48 διδακτορικές διατριβές.

Τον Morley χωρίς να τον έχω συναντήσει τον θαύμασα και τον αγάπησα.

[SKuruklis]

3. Φυσικά, την σημαντική εργασία του Νίκου Δεργιαδέ μαζί με έναν Βιετναμέζο συνεργάτη του που αφορά μια γενίκευση του θεωρήματος Morley εδώ:
https://www.heldermann-verlag.de/jgg/jg ... h2derg.pdf

Την γνωρίζω την συγκεκριμένη ενδιαφέρουσα εργασία και εκτιμώ τον κ. Δεργιεδέ για την συνεισφορά του στο θεώρημα Morley.
Αντιλαμβάνομαι όλο και περισσότερο ότι είναι εξαιρετικά δημοφιλής με πολλούς καλούς φίλους όπως του αξίζει.

Τα δικά μου ενδιαφέροντα ξεφεύγουν από αυτό καθ' αυτό το θεώρημα και κατευθύνονται στις συνεπαγωγές και εξαρτήσεις του.

[SKuruklis]

4. Ένα εκτενές αφιέρωμα στο θεώρημα του Morley στο περιοδικό Forum Geometricorum του 1977.
https://cms.math.ca/wp-content/uploads/ ... 10_Dec.pdf

Εννοείτε το τεύχος του περιοδικού Crux της Καναδικής Μαθηματικής Εταιρείας.

Αν κάποιος θέλει να γνωρίσει πως ξεκίνησε το θεώρημα Morley είναι υποχρεωμένος να το μελετήσει.
Ξεχωρίζει η επιστολή του Morley στο καθηγητή Hayashi για τη δημοσίευση της εργασίας στα καρδιοειδή (ζωγραφισμένα με το χέρι).
Επίσης η βιβλιογραφία στο θεώρημα που παρουσιάζει έχει αναπαραχθεί και εμπλουτιστεί στο γνωστό άρθρο των Oakley, C. O.; Baker, J. C. (1978), "The Morley trisector theorem".