Ερώτηση για άσκηση συνδυαστικής

Teh · #1

Καλησπέρα σας, θα ήθελα να ζητήσω βοήθεια να καταλάβω το λάθος στον τρόπο σκέψης μου σε μία άσκηση.

6 φίλοι συμφωνούν να συναντηθούν στο ξενοδοχείο Ακρόπολις
των Αθηνών. Υπάρχουν 4 ξενοδοχεία με το ίδιο όνομα. Κάθε
ένας από τους 6 φίλους διαλέγει στην τύχη να πάει σε ένα
από αυτά. Πόσοι οι διαφορετικοί τρόποι όπου 2 φίλοι βρίσκονται μόνοι
τους σε διαφορετικά ξενοδοχεία ο καθένας και οι άλλοι 4 σε 2
ζεύγη σε 2 διαφορετικά ξενοδοχεία;

Η ενδεικτική λύση έχει ως απάντηση ότι οι τρόποι επιλογής των 2 ζευγών, καθώς δε μας ενδιαφέρει η σειρά σχηματισμού αυτών, είναι: $\frac{{6\choose 2}\cdot {4\choose 2}}{2!}$ και οι τρόποι για να μεταθέσουμε τα 2 ζεύγοι και τους υπόλοιπους 2 φίλους στα 4 ξενοδοχεία είναι:

και άρα εν τέλει οι πιθανοί τρόποι είναι: $\frac{{6\choose 2}\cdot {4\choose 2}}{2!}\cdot 4!$

Τη λύση την κατάλαβα τελικά, αλλά δεν καταλαβαίνω πού είναι το λάθος στον τρόπο μου όταν την προσπάθησα.

Ξεκίνησα ως εξής: Αν δώσουμε έναν αριθμό από το $\{1,2,3,4\}$ σε κάθε ξενοδοχείο, τότε κάθε τρόπος μπορεί να θεωρηθεί σαν μία διατεταγμένη εξάδα (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6)

, όπου $a_i \in \{1,2,3,4\}, \forall i$ . Μετά επιλέγουμε 2 από τους 6 φίλους, δηλαδή 2 θέσεις στην εξάδα με $6\choose 2$ τρόπους και για αυτούς έχουμε 4 τρόπους να αντιστοιχίσουμε ένα ξενοδοχείο. Έπειτα, για το δεύτερο ζεύγος επιλέγουμε 2 από τους 4 φίλους που έμειναν και για αυτούς υπάρχουν πλέον 3 τρόποι να αντιστοιχίσουμε ένα ξενοδοχείο. Τέλος στις υπόλοιπες 2 θέσεις μεταθέτουμε τα τελευταία 2 νούμερα από τα ξενοδοχεία που έμειναν με

τρόπους. Άρα εν τέλει το αποτέλεσμα είναι: $4\cdot {6\choose 2}\cdot 3\cdot {4\choose 2} \cdot 2! = 4!\cdot {6\choose 2}\cdot {4\choose 2}$ , που προφανώς είναι διαφορετικό της σωστής απάντησης (και διπλάσιο άρα φαντάζομαι ότι διπλομέτρησα κάτι). Ευχαριστώ εκ των προτέρων!

Teh · #2

Θα ήθελα να ρωτήσω, επίσης, αν είναι σωστός ο εξής συλλογισμός: Αρχικά, επιλέγουμε 2 από τα 4 ξενοδοχεία στα οποία θα πάνε τα ζευγάρια, με ${4\choose 2}$ τρόπους, δηλαδή επιλέγουμε 2 απο τα στοιχεία του $\{1,2,3,4\}$ από το πόστ πάνω, τα οποία θα εμφανιστούν 2 φορές στην εξάδα, μετά από τα 2 που απομένουν, τα οποία θα εμφανιστούν μία φορά, επιλέγουμε τα 2 με ${2\choose 2} = 1$ τρόπο και για κάθε μία τέτοια επιλογή παίρνουμε τις επαναληπτικές μεταθέσεις ${6\choose 2,2,1,1}$ , για να κάνουμε αναγραμματισμούς των 4 αριθμών στις 6 θέσεις της διατεταγμένης εξάδας. Άρα, τελικά, οι πιθανές επιλογές είναι: ${4\choose 2}\cdot {2\choose 2}\cdot {6\choose 2,2,1,1} = {\frac {4!}{2!\cdot 2!}} \cdot {\frac {6!}{2!\cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!}} = {\frac {{6\choose 2}\cdot {4\choose 2}}{2!}\cdot 4!$ , όσο δηλαδή και το σωστό αποτέλεσμα. Ευχαριστώ!

Ερώτηση για άσκηση συνδυαστικής

Ερώτηση για άσκηση συνδυαστικής

Re: Ερώτηση για άσκηση συνδυαστικής

Μέλη σε σύνδεση