Μπα και συνεφαπτομένη ;

KARKAR · #1

: Μπα και συνεφαπτομένη ;.png (9.94 KiB) Προβλήθηκε 678 φορές

Το σημείο

είναι το μέσο της πλευράς

, του τετραγώνου ABCD

.

Η μεσοκάθετος της

, τέμνει τον κύκλο διαμέτρου

σε σημείο

,

μέσα στο τετράγωνο . Υπολογίστε την $\cot \theta$ . ( Ιδέα από Λουρίδα

)

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 04, 2022 7:47 pm Μπα και συνεφαπτομένη ;.pngΤο σημείο είναι το μέσο της πλευράς , του τετραγώνου .

Η μεσοκάθετος της , τέμνει τον κύκλο διαμέτρου σε σημείο ,

μέσα στο τετράγωνο . Υπολογίστε την $\cot \theta$ . ( Ιδέα από Λουρίδα )

Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

τέμνει τις $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD$ στα $Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ . Έστω δε

η προβολή του

στην

.

$\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ ( χορδής κι εφαπτομένης) και $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}}$ ( οξείες με κάθετες πλευρές).

: Μπα συνεφαπτομένη.png (23.53 KiB) Προβλήθηκε 647 φορές

Άρα $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ . Τώρα τα ορθογώνια τρίγωνα $ESC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TCS$ είναι ίσα με συνέπεια η

διχοτόμος της $\widehat {ECT}$ .

$\cot \omega = 2 \Rightarrow \tan 2\theta = 2 \Rightarrow \dfrac{{\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} = 1 \Rightarrow {\cot ^2}\theta - \cot \theta - 1 = 0$ και άρα $\boxed{\cot \theta = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi }$

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 04, 2022 7:47 pm Μπα και συνεφαπτομένη ;.pngΤο σημείο είναι το μέσο της πλευράς , του τετραγώνου .

Η μεσοκάθετος της , τέμνει τον κύκλο διαμέτρου σε σημείο ,

μέσα στο τετράγωνο . Υπολογίστε την $\cot \theta$ . ( Ιδέα από Λουρίδα )

Έστω

η πλευρά του τετραγώνου. Λόγω της μεσοκαθέτου, SM=SL=x

και $\displaystyle S\widehat CL = M\widehat CS = \theta$

: Συνεφαπτομένη.Κ.png (15.87 KiB) Προβλήθηκε 621 φορές

Πτολεμαίος στο SMCL,

$\displaystyle a\sqrt 5 x + ax = 2aCS \Leftrightarrow \frac{{CS}}{x} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{\cot \theta = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} = \Phi }$

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 04, 2022 7:47 pm Μπα και συνεφαπτομένη ;.pngΤο σημείο είναι το μέσο της πλευράς , του τετραγώνου .

Η μεσοκάθετος της , τέμνει τον κύκλο διαμέτρου σε σημείο ,

μέσα στο τετράγωνο . Υπολογίστε την $\cot \theta$ . ( Ιδέα από Λουρίδα )

$\hat{CMT}=\hat{DCM}=\theta ,LO=OC,CT=TB\Rightarrow OT=\dfrac{a}{4}, 4R^{2}=a^{2}+\dfrac{a^{2}} {4} \Leftrightarrow R=\dfrac{a\sqrt{5}}{4},cot\theta =\dfrac{2MT}{a},MT=R+OT=\dfrac{a}{2}\Phi , cot\theta =\Phi$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 04, 2022 7:47 pm Μπα και συνεφαπτομένη ;.pngΤο σημείο είναι το μέσο της πλευράς , του τετραγώνου .

Η μεσοκάθετος της , τέμνει τον κύκλο διαμέτρου σε σημείο ,

μέσα στο τετράγωνο . Υπολογίστε την $\cot \theta$ . ( Ιδέα από Λουρίδα )

Είναι $SO//LT\Rightarrow TL=2SO=CL= \dfrac{a \sqrt{5} }{2} \Rightarrow TB= \dfrac{a \sqrt{5} }{2}+ \dfrac{a}{2}$

$cot \theta = \dfrac{TB}{BC}= \dfrac{1+ \sqrt{5} }{2}= \Phi$

: cotθ.png (21.21 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές

Μπα και συνεφαπτομένη ;

Μπα και συνεφαπτομένη ;

Re: Μπα και συνεφαπτομένη ;

Re: Μπα και συνεφαπτομένη ;

Re: Μπα και συνεφαπτομένη ;

Re: Μπα και συνεφαπτομένη ;

Μέλη σε σύνδεση