Ταυτότητες και ρητοί αριθμοί

#1

Αν $x,y \in \mathbb R^*$ και οι αριθμοί x^2+y^2 , x^3+y^3, x^6+y^6

είναι ρητοί , να αποδειχθεί ότι οι αριθμοί :

α) x+y, xy , x^4+y^4

είναι ρητοί.

β) Οι αριθμοί x^5+y^5, x^7+y^7 , x^8+y^8

είναι ρητοί .

Μπάμπης

#2

Είναι $\displaystyle{x^3 + y^3}$ ρητός άρα $\displaystyle{{(x^3 + y^3)^2=x^6 +y^6 +2(xy)^3}}$ ρητός. Επειδή $\displaystyle{x^6 +y^6}$ ρητός, λαμβάνουμε $\displaystyle{(xy)^3}$ ρητός.

Ακόμα επειδή $\displaystyle{x^6 +y^6 =(x^2 +y^2)((x^2 +y^2)^2 -3(xy)^2)}$ , προκύπτει ότι $\displaystyle{(xy)^2}$ ρητός. Τότε το

είναι ρητός ως πηλίκο ρητών.

Είναι $\displaystyle{x+y =\frac{x^3 +y^3}{x^2 -xy +y^2}}$ ρητός.

Είναι $\displaystyle{x^4 +y^4 =(x^2 +y^2)^2-2(xy)^2}$ ρητός.

Είναι $\displaystyle{x^8 +y^8 =(x^4 +y^4)^2 -2(xy)^4}$ ρητός.

Είναι $\displaystyle{x^5 +y^5 =(x+y)(x^4 +y^4)-xy(x^3 +y^3)}$ ρητός

και γενικά όλες οι παραστάσεις της μορφής $\displaystyle{x^n +y^n}$ είναι ρητές, $\displaystyle{n}$ θετικός
ακέραιος, αφού ισχύει $\displaystyle{x^n +y^n=(x+y)(x^{n-1}+y^{n-1})-xy(x^{n-2}+y^{n-2}).}$

#3

Όταν είδα την άσκηση διερωτήθηκα αν μπορούμε να αποδείξουμε αν οι x,y

είναι ρητοί ή όχι. Έχω την απάντηση (δεν είναι δύσκολο) αλλά τα αφήνω σαν ερώτημα.

#4

Οι

δεν είναι απαραίτητα ρητοί. Π.χ. $x=1+\sqrt{2},y=1-\sqrt{2}.$

#5

Ωραία και γρήγορα. Εγώ είχα πάρει $x = \sqrt{2}$ και $y = -\sqrt{2}$ .

#6

matha έγραψε:Είναι $\displaystyle{x^3 + y^3}$ ρητός άρα $\displaystyle{{(x^3 + y^3)^2=x^6 +y^6 +2(xy)^3}}$ ρητός. Επειδή $\displaystyle{x^6 +y^6}$ ρητός, λαμβάνουμε $\displaystyle{(xy)^3}$ ρητός.

Ακόμα επειδή $\displaystyle{x^6 +y^6 =(x^2 +y^2)((x^2 +y^2)^2 -3(xy)^2)}$ , προκύπτει ότι $\displaystyle{(xy)^2}$ ρητός. Τότε το είναι ρητός ως πηλίκο ρητών.

Είναι $\displaystyle{x+y =\frac{x^3 +y^3}{x^2 -xy +y^2}}$ ρητός.

Είναι $\displaystyle{x^4 +y^4 =(x^2 +y^2)^2-2(xy)^2}$ ρητός.

Είναι $\displaystyle{x^8 +y^8 =(x^4 +y^4)^2 -2(xy)^4}$ ρητός.

Είναι $\displaystyle{x^5 +y^5 =(x+y)(x^4 +y^4)-xy(x^3 +y^3)}$ ρητός

και γενικά όλες οι παραστάσεις της μορφής $\displaystyle{x^n +y^n}$ είναι ρητές, $\displaystyle{n}$ θετικός
ακέραιος, αφού ισχύει $\displaystyle{x^n +y^n=(x+y)(x^{n-1}+y^{n-1})-xy(x^{n-2}+y^{n-2}).}$

Και η λύση και η γενίκευση είναι πολύ ωραίες . Στο περιοδικό που δίνονταν η άσκηση δεν δίνονταν ότι οι αριθμοί είναι μη μηδενικοί, αλλά αυτη την προϋπόθεση την έβαλα μόνος μου.

Μπάμπης

manos1992 · #7

Κύριε Μπάμπη νομίζω πως αν δεν δίνεται τέτοιος περιορισμος τότε μπορούμε να πούμε ότι αν ένας τουλάχιστον εκ των x,y είναι 0 τότε $xy=0 \in \mathbb Q$ ..Αν κανείς τους δεν είναι 0, δουλεύουμε όπως πολύ όμορφα λύθηκε παραπάνω..

Ταυτότητες και ρητοί αριθμοί

Ταυτότητες και ρητοί αριθμοί

Re: Ταυτότητες και ρητοί αριθμοί

Re: Ταυτότητες και ρητοί αριθμοί

Re: Ταυτότητες και ρητοί αριθμοί

Re: Ταυτότητες και ρητοί αριθμοί

Re: Ταυτότητες και ρητοί αριθμοί

Re: Ταυτότητες και ρητοί αριθμοί

Μέλη σε σύνδεση