Παραβολή, τμήμα, εμβαδόν, τόπος

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

Kαλημέρα σε όλους. Νομίζω έχει ενδιαφέρον για τη σχολική τάξη το πρόβλημα του Ορέστη.

: Παραβολή, τμήμα, εμβαδόν, τόπος.png (7.77 KiB) Προβλήθηκε 645 φορές

Έστω $\displaystyle P\left( {a,{a^2}} \right),\;Q\left( {b,{b^2}} \right),\;a < b$ σημεία της παραβολής με την παραπάνω ιδιότητα.

Τότε $\displaystyle \frac{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {b - a} \right)}}{2} - \int_a^0 {{x^2}dx} - \int_0^b {{x^2}dx} = \frac{4}{3}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{{a^2}b + {b^3} - {a^3} - a{b^2}}}{2} + \frac{{{a^3}}}{3} - \frac{{{b^3}}}{3} = \frac{4}{3}$

$\displaystyle \Leftrightarrow {b^3} - 3a{b^2}+ 3{a^2}b - {a^3} = 8 \Leftrightarrow {\left( {b - a} \right)^3} = {2^3} \Leftrightarrow b - a = 2$ (1).

Είναι $\displaystyle M\left( {\frac{{a + b}}{2},\;\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}} \right)$ και λόγω της (1) $\displaystyle M\left( {a + 1,\;{a^2} + 2a + 2} \right)$ .
Έστω $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x = a + 1\\ y = {a^2} + 2a + 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1 = a\\ y = {a^2} + 2a + 2 \end{array} \right.$

οπότε για τις συντεταγμένες του

είναι $\displaystyle y = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2\left( {x - 1} \right) + 2 = {x^2} + 1$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ .

Παραβολή, τμήμα, εμβαδόν, τόπος

Παραβολή, τμήμα, εμβαδόν, τόπος

Re: Παραβολή, τμήμα, εμβαδόν, τόπος

Μέλη σε σύνδεση