Παραβολή και κύκλος

orestisgotsis · #1

Περιττό

#2

orestisgotsis έγραψε: Κυρ Μαρ 12, 2023 11:59 am Δίνεται η παραβολή $C:y={{x}^{2}}$ . Κύκλος () με κέντρο στον ${\mathrm O}y$ και ακτίνα 1 έχει δύο

κοινά σημεία με την C. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου K του κύκλου () και

το εμβαδόν της περιοχής που οριοθετείται από την C και τον κύκλο ().

Ο κύκλος έχει εξίσωση $\displaystyle {x^2} + {(y - k)^2} = 1$ και αφού έχει δύο κοινά σημεία με την παραβολή, θα εφάπτεται σε αυτήν.

Θα πρέπει λοιπόν η εξίσωση $\displaystyle {x^2} + {({x^2} - k)^2} = 1 \Leftrightarrow {x^4} + (1 - 2k){x^2} + {k^2} - 1 = 0$ να έχει $\displaystyle \Delta = 0.$

Έτσι παίρνουμε $\displaystyle K\left( {0,\frac{5}{4}} \right)$ και $\displaystyle A\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2},\frac{3}{4}} \right),B\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2},\frac{3}{4}} \right)$

: Παραβολή και κύκλος.O.png (11.3 KiB) Προβλήθηκε 2271 φορές

Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την παραβολή και την ευθεία

είναι:

$\displaystyle (ABCD) - 2\int_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {{x^2}} dx = \frac{{3\sqrt 3 }}{4} - 2\left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ τ.μ

Για να βρούμε το ζητούμενο εμβαδόν

αφαιρούμε από το $\dfrac{{\sqrt 3 }}{2},$ το εμβαδόν του ελάσσονος κυκλικού τμήματος χορδής AB.

$\displaystyle E = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \left( {\frac{{120\pi }}{{360}} - \frac{1}{2}\sin 120^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right) \Leftrightarrow$ $\boxed{E = \frac{1}{{12}}\left( {9\sqrt 3 - 4\pi } \right)\tau .\mu }}$

Παραβολή και κύκλος

Παραβολή και κύκλος

Re: Παραβολή και κύκλος

Μέλη σε σύνδεση