Βρείτε τη συνάρτηση

#1

Για τη γνησίως αύξουσα συνάρτηση , $f:\,\,\left( {0, + \infty } \right) \to \mathbb{R}$ και για κάθε a,b > 0

ισχύει :

$f\left( {bf\left( a \right)} \right) = {a^2}f\left( {ab} \right)$ . Δείξετε ότι: $f\left( x \right) = {x^2}\,\,,\,\,x > 0$

Ορέστης Λιγνός · #2

Doloros έγραψε: Τρί Μαρ 21, 2023 1:39 pm Για τη γνησίως αύξουσα συνάρτηση , $f:\,\,\left( {0, + \infty } \right) \to \mathbb{R}$ και για κάθε ισχύει :

$f\left( {bf\left( a \right)} \right) = {a^2}f\left( {ab} \right)$ . Δείξετε ότι: $f\left( x \right) = {x^2}\,\,,\,\,x > 0$

Μία εκτός φακέλου λύση, για την καλησπέρα στον κ. Νίκο

Γράφουμε

αντί για

.

Ισχυρισμός 1: Ισχύει ότι f(1)=1

.
Απόδειξη: Με x=y=1

η αρχική δίνει ότι f(f(1))=f(1)

, άρα αφού η

είναι 1-1 (ως γνησίως αύξουσα), f(1)=1

$\blacksquare$

Ισχυρισμός 2: Η συνάρτηση

είναι πολλαπλασιαστική.
Απόδειξη: Με y=1

η αρχική δίνει ότι f(f(x))=x^2f(x)

, οπότε με $x \rightarrow f(x)$ στην αρχική έχουμε ότι f(yx^2f(x))=f(x)^2f(yf(x))=x^2f(x)^2f(xy)

.

Συνεπώς, με $y \rightarrow \dfrac{y}{x}$ σε αυτήν προκύπτει ότι f(yxf(x))=x^2f(x)^2f(y)

. Επομένως,

$x^2f(x)^2f(y)=f(yxf(x))=x^2f(x \cdot yx)=x^2f(yx^2),$

και άρα f(x)^2f(y)=f(yx^2)

. Με

έχουμε ότι f(x^2)=f(x)^2

, και άρα

και αφού η

είναι ορισμένη στο $\mathbb{R^{+}}$ , είναι πολλαπλασιαστική $\blacksquare$

Στο πρόβλημα, αφού η συνάρτηση

είναι πολλαπλασιαστική, αν υπήρχε u>0

με

, τότε $0=f(u)>f(\dfrac{u}{2})=f(u) \cdot f(\dfrac{1}{2})=0,$ άτοπο. Άρα $f(x) \neq 0$ για κάθε x>0

, συνεπώς

$f(\dfrac{f(x)}{x})=\dfrac{f(f(x))}{f(x)}=\dfrac{x^2f(x)}{f(x)}=x^2$ .

Αν για κάποιο x>0

ίσχυε ότι $f(x) \neq x^2$ , τότε f(x)>x^2

ή

.

Αν

, τότε $f(\dfrac{f(x)}{x})>f(x)>x^2,$ άτοπο.
Αν f(x)<x^2

, τότε $f(\dfrac{f(x)}{x})<f(x)<x^2,$ άτοπο.

Συνεπώς, f(x)=x^2

για κάθε

, συνάρτηση που προφανώς ικανοποιεί την αρχική σχέση.

#3

Doloros έγραψε: Τρί Μαρ 21, 2023 1:39 pm Για τη γνησίως αύξουσα συνάρτηση , $f:\,\,\left( {0, + \infty } \right) \to \mathbb{R}$ και για κάθε ισχύει :

$f\left( {bf\left( a \right)} \right) = {a^2}f\left( {ab} \right)$ . Δείξετε ότι: $f\left( x \right) = {x^2}\,\,,\,\,x > 0$

Ευχαριστώ τον Ορέστη για την υψηλού επιπέδου αντιμετώπιση .

Μια άποψη .

1. Για a = b = 1

προκύπτει: $f\left( {f\left( 1 \right)} \right) = {1^2}f\left( {1 \cdot 1} \right) \Leftrightarrow f\left( {f\left( 1 \right)} \right) = f\left( 1 \right)\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Η

αφού είναι γνήσια μονότονη θα είναι και 1 - 1

, έτσι η $\left( 1 \right)$ δίδει : $\boxed{f\left( 1 \right) = 1}\,\,\left( 2 \right)$ .

2. Από την αρχική, για $b = \dfrac{1}{a} > 0$ προκύπτει : $f\left( {\dfrac{{f\left( a \right)}}{a}} \right) = {a^2}f\left( 1 \right)$ ή λόγω της $\left( 2 \right)$ $\boxed{f\left( {\dfrac{{f\left( a \right)}}{a}} \right) = {a^2}}$ $\left( 3 \right)$

Δηλαδή ζητώ να προσδιορίσω τη συνάρτηση $f:\left( {0, + \infty } \right) \to \mathbb{R}$ για την οποία :

$f\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}} \right) = {x^2}.$ Έστω ότι υπάρχει ${x_0} > 0$ για το οποίο , $f\left( {{x_0}} \right) \ne {x_0}^2$ ή

$\dfrac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{{{x_0}}} \ne {x_0}$ . Ας υποθέσω π. χ. $\dfrac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{{{x_0}}} > {x_0}$ . Επειδή η

γνήσια αύξουσα θα έχω

$f\left( {\dfrac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{{{x_0}}}} \right) > f\left( {{x_0}} \right)$ ή λόγω της $\left( 3 \right)$ , $x_0^2 > f\left( {{x_0}} \right) \Leftrightarrow {x_0} > \dfrac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{{{x_0}}}$ άτοπο ως προς την υπόθεση .

Πάλι σε άτοπο και με όμοιο τρόπο καταλήγω αν υποθέσω : $\dfrac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{{{x_0}}} < {x_0}$ .

Συνεπώς για κάθε x > 0

έχω : $\boxed{f\left( x \right) = {x^2}}$ .

Παρατήρηση :

Η άσκηση είναι άλυτη στο βιβλίο του Γιάννη Μπαϊλάκη , υπ’ αρ. 25 σελίδα 17,

«500 θέματα εξετάσεων και ερωτήσεις 1ης Δέσμης» έκδοση 1999.

Κατά τον συγγραφέα είχε δοθεί σε εξετάσεις στο Μεξικό το 1993.

Βρείτε τη συνάρτηση

Βρείτε τη συνάρτηση

Re: Βρείτε τη συνάρτηση

Re: Βρείτε τη συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση