Ολοκληρωμένη απάντηση

KARKAR · #1

$\bigstar$ Υπολογίστε το ολοκλήρωμα : $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin2x}{2\sin^2x+\cos^2x}dx$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 10, 2023 8:19 pm
$\bigstar$ Υπολογίστε το ολοκλήρωμα : $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin2x}{2\sin^2x+\cos^2x}dx$

Είναι
$\displaystyle\frac{\sin2x}{2\sin^2x+\cos^2x}=\frac{2 \sin x \cos x}{\sin^2x+1}=\frac{(\sin^2x+1)'}{\sin^2x+1}=(\log(\sin^2x+1))'$
Αρα
$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin2x}{2\sin^2x+\cos^2x}dx=[(\log(\sin^2x+1))]_{0}^{\frac{\pi }{2}} =\log 2$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 10, 2023 8:19 pm
$\bigstar$ Υπολογίστε το ολοκλήρωμα : $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin2x}{2\sin^2x+\cos^2x}dx$

Παρόμοιο (χρησιμοποιώντας διαφορετικούς τύπους)

$\displaystyle \frac{{\sin 2x}}{{2{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}} = \frac{{\sin 2x}}{{1 - \cos 2x + \frac{{1 + \cos 2x}}{2}}} = \frac{{2\sin 2x}}{{3 - \cos 2x}} = \frac{{(3 - \cos 2x)'}}{{3 - \cos 2x}}$

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x}}{{2{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}} = \left[ {\ln (3 - \cos 2x)} \right]} _0^{\frac{\pi }{2}} = \ln 4 - \ln 2 = \ln 2$

Ολοκληρωμένη απάντηση

Ολοκληρωμένη απάντηση

Re: Ολοκληρωμένη απάντηση

Re: Ολοκληρωμένη απάντηση

Μέλη σε σύνδεση