mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 06, 2023 9:23 am**

Αγαπητές/τοί φίλες/οι

Στο θέμα αυτό θα αναρτηθούν (αμέσως μόλις δημοσιευθούν στη σελίδα του Υπουργείου) και, αποκλειστικά, θα λυθούν τα θέματα των Μαθηματικών 2023 (των ημερησίων ΓΕΛ). Επομένως σχολιασμοί-κριτική επί της δυσκολίας κ.λ.π. των θεμάτων θα απομακρύνονται από αυτήν την συζήτηση. Αυτές μπορούν να γίνουν στο Σχόλια στα Μαθηματικά ΓΕΛ 2023

MATHIMATIKA_ΟΡ_HM_2023_04.pdf: (247.77 KiB) Μεταφορτώθηκε 796 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 06, 2023 10:39 am**

Δ1. Έστω η συνάρτηση

με $\displaystyle{h(x)=\frac{f(x)-2x}{x-1},\;x \in (0,1)\cup(1,2),}$
για την οποία ισχύει $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}h(x)= \ell .}$
Τότε για $x \in (0,1)\cup(1,2),$ έχουμε ότι
$\displaystyle{h(x)(x-1)=f(x)-2x \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow f(x)=h(x)(x-1)+2x}$
και αφού
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1} \left[ h(x)(x-1)+2x\right]=\ell \cdot 0 +2 \cdot1=2,}$
έχουμε ότι
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}f(x)=2 \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow 1}\left[ln(2-x)-\frac{1}{x}+\kappa \right]=2 \Leftrightarrow -1+\kappa=2 \Leftrightarrow \kappa =3,}$
δεδομένου ότι
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}ln(2-x)=ln1=0,}$
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}\frac{1}{x}=1.}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 06, 2023 10:41 am**

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2023.docx: (101.42 KiB) Μεταφορτώθηκε 433 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 06, 2023 11:04 am**

Η γνώμη μου για τα Σωστό -Λάθος μετά από 17 χρόνια μακριά από το αντικείμενο:

α) Σωστό (Τελικά είναι Λάθος, νόμιζα πως ελεγε 0, όχι 1)
β) Λάθος
γ) Σωστό
δ) Λάθος (Σωστό, δεν το πρόσεξα)
ε) Σωστό

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 06, 2023 11:09 am**

α. Λ
β. Λ
γ. Λ
δ. Σ
ε. Σ

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 06, 2023 11:17 am**

Δ2. Για $\kappa=3,$ έχουμε
$\displaystyle{f(x)=ln(2-x)-\frac{1}{x}+3,\;x\in(0,2).}$
Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο (0,2),

ως άθροισμα των παραγωγίσιμων συναρτήσεων ln(2-x)

[σύνθεση των παραγωγίσιμων $lnx,\;2-x$ ] και $-\frac{1}{x}$ [ρητή] και

[σταθερή], με
$\displaystyle{f’(x)_=\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x^2}=\frac{x^2+x-2}{x^2(x-2)}=\frac{(x-1)(x+2)}{x^2(x-2)},\;x \in (0,2).}$
Τότε για $x \in (0,2),$ έχουμε
$\displaystyle{f'(x)=0 \Leftrightarrow (x-1)(x+2) =0 0 \Leftrightarrow x=1,}$
αφού $-2 \notin (0,2).$
Τότε:
ΣΥΝΗΜΜΕΝΟ ΣΧΗΜΑ

Συνεπώς
* για $x \in (0,1),$ ισχύει f'(x)>0,

και αφού η f είναι συνεχής στο (0,2)

η

είναι γνησίως αύξουσα στο (0,1],

* για $x \in (1,2),$ ισχύει f'(x)<0,

και αφού η f είναι συνεχής στο (0,2)

η

είναι γνησίως φθίνουσα στο [1,2).

Επίσης
# για $x \in A_1=(0,1),$ η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, άρα
$\displaystyle{f(A_1)=\left(\lim_{x \rightarrow 0^+}f(x), \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)\right)=(-\infty,2),}$
#για $x \in A_2=[1,2),$ η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα
$\displaystyle{f(A_2)=\left(\lim_{x \rightarrow 2^-}f(x),f(1)\right)=(-\infty,2].}$
Συνεπώς $0 \in f(A_1),f(A_2),$ οπότε η f(x)=0

έχει από μία τουλάχιστον ρίζα στα A_1,A_2,

αντίστοιχα και αφού είναι γνησίως μονότονη σε κάθε ένα από αυτά, η εξίσωση f(x)=0

έχει ακριβώς από μία λύση στα A_1,A_2.

Έστω

οι δύο ρίζες με $x_1 \in (0,1),$ $x_2 \in [1,2),$ οπότε 0<x_1<1<x_2<2.

Έστω ότι $\displaystyle{x_1 \geq \frac{1}{3}.}$
Αφού $\displaystyle{x_1,\frac{1}{3} \in(0,1), }$ όπου η

είναι γνησίως αύξουσα στο (0,1)

ισχύει
$\displaystyle{f(x_1) \geq f\left(\frac{1}{3} \right) \Rightarrow 0 \geq \ln\frac{5}{3}>ln1=0,}$
που είναι άτοπο, άρα $\displaystyle{x_1 < \frac{1}{3}}$
και συγκεντρωτικά $\displaystyle{0<x_1 < \frac{1}{3}<1<x_2<2.}$

Υ.Γ. Μου είχαν ξεφύγει τα βέλη της μονοτονίας. Ευχαριστώ τον Pilgrim για την υπόδειξη

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 06, 2023 11:24 am**

math έγραψε: Τρί Ιουν 06, 2023 11:09 am α. Λ
β. Λ
γ. Λ
δ. Σ
ε. Σ

Ένα αντιπαράδειγμα για το γ;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 06, 2023 11:26 am**

Energy Engineer έγραψε: Τρί Ιουν 06, 2023 11:24 am
math έγραψε: Τρί Ιουν 06, 2023 11:09 am α. Λ
β. Λ
γ. Λ
δ. Σ
ε. Σ
Ένα αντιπαράδειγμα για το γ;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 06, 2023 11:38 am**

Δ3. Η

ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο $\left[x_1,\dfrac{1}{3} \right],$ αφού:
* η

είναι συνεχής στο $\left[x_1,\dfrac{1}{3} \right],$
* η

είναι παραγωγίσιμη στο $\left(x_1,\dfrac{1}{3} \right),$
οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in \left(x_1,\dfrac{1}{3} \right),$ τέτοιο ώστε
$\displaystyle{f'(\xi)=\frac{f\left(\frac{1}{3}\right)-f(x_1)}{\frac{1}{3}-x_1}=\frac{f\left(\frac{1}{3}\right)-0}{\frac{1-3x_1}{3}}=\frac{3f\left(\frac{1}{3}\right)}{1-3x_1}.}$
Τέλος αφού $\left(x_1,\dfrac{1}{3} \right) \subseteq (0,1),$
υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (0,1),$ τέτοιο ώστε
$\displaystyle{f'(\xi)=\frac{3f\left(\frac{1}{3}\right)}{1-3x_1}.}$
Επίσης η

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0,2),

με
$\displaystyle{f''(x)=-\frac{1}{(x-2)^2}-\frac{2}{x^3}<0,}$
οπότε η

είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,2),

άρα το $\xi$ που βρήκαμε είναι μοναδικό.
Επομένως, υπάρχει μοναδικό σημείο $M \left( \xi ,f\left( \xi \right) \right)$ , με $\xi \in \left( 0,1 \right)$ , τέτοιο, ώστε η κλίση ${f}'(\xi )$ της ${{C}_{f}}$ στο

να είναι ίση με $\frac{3f\left( \frac{1}{3} \right)}{1-3{{x}_{1}}}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 06, 2023 11:51 am**

Μια απάντηση για το πολύ καλό Δ4.

i) Είναι $F(x)=G(x)+c, \ \ \forall x\in (0,2)$

Για x=x_1

έχουμε

Για

έχουμε $c=F(x_2)\Rightarrow -G(x_1)=F(x_2)\Rightarrow F(x_2)+G(x_1)=0$

ii) Λόγω της μονοτονίας της συνάρτησης

, (γνησίως αύξουσα στο [x_1,1]

και γνησίως φθίνουσα στο [1,x_2]

),

θα είναι $f(x)>0,\ \ \forall x\in (x_1,x_2)$

Αφού $F'(x)=G'(x)=f(x)>0 ,\ \ \forall x\in (x_1,x_2)$ , οι συναρτήσεις F,G

θα είναι γνησίως αύξουσες στο [x_1,x_2]

.

Έτσι θα ισχύουν G(x_1)<G(x_2)=0

και

.

Έστω η συνάρτηση $\boxed{h(x)=x_1F(x)+x_2G(x)+2x-x_1-x_2}, \ \ x\in [x_1,x_2]$ .

Είναι h(x_1)=x_2G(x_1)+x_1-x_2<0

και

.

Από θεώρημα Bolzano η εξίσωση h(x)=0

θα έχει ρίζα στο x_1,x_2

, η οποία θα είναι μοναδική, καθώς η

είναι γνησίως αύξουσα:

$h'(x)=x_1f(x)+x_2f(x)+2>0, \ \ \forall x\in (x_1,x_2)$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 06, 2023 12:06 pm**

Καλημέρα και από δω !
Πριν ανεβάσει ο Γιώργος το πρώτο Δελτίο, θα έλεγα να μου το στείλει, να κάνω μια ελαφριά γλωσσική επιμέλεια και να δώσω σε όλο το κείμενο την ίδια περίπου ροή.
Δεν θα αλλάξω τίποτα άλλο, παρά μόνο πιθανές εκφραστικές ατέλειες κλπ.

Σε ένα τέταρτο θα το έχω ετοιμάσει.

Ας μου το στείλετε, μια κλήση θα ήταν καλή για το δω αμέσως.
Καλή δύναμη και καλά αποτελέσματα !

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 06, 2023 12:16 pm**

Μια άλλη ιδέα για το Δ4.

Είναι $\int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt=F(x_2)-F(x_1)=F(x_2)$ και $\int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt=G(x_2)-G(x_1)=-G(x_1)$ .

Συνεπώς, F(x_2)=-G(x_1)

και άρα

,

Επίσης, αφού f(x)>0

για κάθε $x\in(x_1,x_2)$ έπεται ότι $\int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt>0$ . Συνεπώς, G(x_1)<0<F(x_2)

.

Τα υπόλοιπα όπως παραπάνω.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 06, 2023 12:59 pm**

achilleas έγραψε: Τρί Ιουν 06, 2023 12:16 pm Μια άλλη ιδέα για το Δ4.

Είναι $\int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt=F(x_2)-F(x_1)=F(x_2)$ και $\int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt=G(x_2)-G(x_1)=-G(x_1)$ .

Συνεπώς, και άρα ,

Επίσης, αφού για κάθε $x\in(x_1,x_2)$ έπεται ότι $\int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt>0$ . Συνεπώς, .

Τα υπόλοιπα όπως παραπάνω.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Μαθητής είμαι. Και εγώ έτσι οπως είπατε τα έλυσα τα 2 ερωτήματα αλλα δεν βρήκα πουθενά τέτοια λύση και αγχώθηκα χωρίς λόγο.Καλο θα είναι όσοι ανεβάζουν λύσεις στα σαιτ να μην γράφουν μόνο μια λύση γιατί τα μαθηματικά είναι φαντασία και δεν πρέπει να περιορίζονται σε μία λύση.Επίσης μπορεί να ξεφεύγω απο το θέμα της συζήτησης αλλά ενώ απο μικρό παιδι συμμετέχω σε μαθηματικούς διαγωνισμούς, δεν μου αρέσουν καθόλου τα μαθηματικά της γ λυκείου. καθε καλοκαιρι ασχολουμαι μονος μου με πραγματα ομορφα για τα μαθηματικα. Εχουν καταντήσει τα μαθηματικά τυποποιημένες λύσεις και θεωρούνται και δύσκολα απο κάποιους!! Σας ευχαριστώ και συγγνώμη αν ξεφυγα απο το θεμα της συζήτησης αλλα ήθελα να πω την άποψη μου!! Καλο υπόλοιπο.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 06, 2023 1:20 pm**

Το Δ3 χωρίς Θ.Μ.Τ. μπορεί να βγει και με σύνολο τιμών της δεύτερης παραγώγου. Είναι:
$f'(x)=-\dfrac{1}{2-x}+\dfrac{1}{x^2}, \: f''(x)=-\dfrac{1}{(x-2)^2}-\dfrac{2}{x^3}<0$ για $x\in(0,2)$

Οπότε η

είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,2)

και:
$f'((0,2))=(\lim_{x\rightarrow2^-}f'(x), \lim_{x\rightarrow0^+}f'(x))=\mathbb{R}$ , αφού είναι:

$\lim_{x\rightarrow2^-}f'(x)=lim_{x\rightarrow2^-}-\dfrac{1}{2-x}+\dfrac{1}{x^2}=-\infty$ ,
$\lim_{x\rightarrow0^+}f'(x)=lim_{x\rightarrow0^+}-\dfrac{1}{2-x}+\dfrac{1}{x^2}=+\infty$

Άρα, και λόγω της μονοτονίας, υπάρχει μοναδικό $\xi\in(0,2)$ , τέτοιο ώστε η

να παίρνει την ζητούμενη τιμή.
Θα δείξουμε τώρα ότι θα πρέπει $\xi\in(0,1)$ .

Είναι:
$\dfrac{2f(1/3)}{1-3x_1}>0$ , αφού:
$x_1<\frac{1}{3}\Leftrightarrow1-3x_1>0$ ,
$1/3\in(x_1,x_2)\Rightarrow f(1/3)>0$

Δηλαδή είναι:
$f'(\xi)>0\Leftrightarrow f'(\xi)>f'(1)\overset{f'\searrow}{\Leftrightarrow} \xi<1$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 06, 2023 1:32 pm**

achilleas έγραψε: Τρί Ιουν 06, 2023 12:16 pm Μια άλλη ιδέα για το Δ4.

Είναι $\int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt=F(x_2)-F(x_1)=F(x_2)$ και $\int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt=G(x_2)-G(x_1)=-G(x_1)$ .

Συνεπώς, και άρα ,

Επίσης, αφού για κάθε $x\in(x_1,x_2)$ έπεται ότι $\int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt>0$ . Συνεπώς, .

Τα υπόλοιπα όπως παραπάνω.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Το έλυσε μαθητής μου με διπλό Θ.Μ.Τ για τις F και G που είναι ουσιαστικά το ίδιο πραγμα

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 06, 2023 3:01 pm**

Αλγεβρική επίλυση στο Β2ii από μαθητή μου

$\displaystyle \frac{{4 - {\pi ^2}}}{{4 - {e^2}}} > \frac{\pi }{e} \Leftrightarrow \frac{{{\pi ^2} - 4}}{{{e^2} - 4}} > \frac{\pi }{e} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow e\left( {{\pi ^2} - 4} \right) > \pi \left( {{e^2} - 4} \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow e{\pi ^2} - \pi {e^2} - 4e + 4\pi > 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow e\pi \left( {\pi - e} \right) + 4\left( {\pi - e} \right) > 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left( {\pi - e} \right)\left( {e\pi + 4} \right) > 0$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 06, 2023 5:10 pm**

Στην αρχική σελίδα αναρτήθηκε η 1η έκδοση του δελτίου Λύσεων των θεμάτων της σημερινής εξέτασης.

Μπορείτε να τα κατεβάσετε και από εδώ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 06, 2023 6:20 pm**

Μια προσέγγιση για το δ4 i) (νομίζω αλλάζει λίγο η παρουσίαση , που βασίζεται στις συνέπειες θμτ και αποδεικνύει στην πορεία το πόρισμα, αλλά η ουσία είναι ίδια ..)
Θα χρησιμοποιήσουμε ότι αφού F,G

είναι αρχικές της

στο

τότε:

για κάθε

στο

και επιπλέον
G'(x)=f(x) (2)

για κάθε

στο

Αν αφαιρέσουμε κατά μέλη τις (1),(2)

παίρνουμε:
(F(x)-G(x))'=0

στο

και επομένως
(F(x)-G(x))'= (c)'

στο

με

στο

Όμως τότε (από συνέπειες ΘΜΤ)
F(x)-G(x) = c+l (3)

για κάθε

στο

και

στο

Θέτω τώρα στην (3) διαδοχικά x=x_1

και

και προκύπτει ότι F(x_1)-G(x_1)=F(x_2)-G(x_2)

δηλαδη το ζητούμενο λόγο υπόθεσης.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 06, 2023 6:21 pm**

Στο Δ2 η ανίσωση για το x_1

βγαίνει και ως εξής:

${x_1} < 1 \Leftrightarrow 2 - {x_1} > 1 \Leftrightarrow \ln \left( {2 - {x_1}} \right) > 0{\text{ }}\left( 1 \right)$

Όμως είναι $f\left( {{x_1}} \right) = 0 \Leftrightarrow \ln \left( {2 - {x_1}} \right) - \frac{1}{{{x_1}}} + 3 = 0 \Leftrightarrow \ln \left( {2 - {x_1}} \right) = \frac{1}{{{x_1}}} - 3$

οπότε αντικαθιστώντας στην (1) έχουμε $\frac{1}{{{x_1}}} - 3 > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{{x_1}}} > 3 \Leftrightarrow {x_1} < \frac{1}{3}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 06, 2023 11:00 pm**

ΛΑΘΟΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΟ ΘΕΜΑ Γ4 ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΤΗΣ 6-6-23
Παίρνω αφορμή από το σημερινό (6-6-23) θέμα Γ4 των Μαθηματικών των Πανελληνίων εξετάσεων για τη λύση του οποίου διαφωνώ με τη συντριπτική πλειονότητα των συναδέλφων που είδα τις λύσεις τους.
Έχω τονίσει σε πολλά από τα 55 βιντεομαθήματά μου με την ύλη της Γ΄ Λυκείου, αλλά και σε διάφορες εισηγήσεις μου έχω αναφέρει ότι, τα όσα ισχυρίζομαι στηρίζονται στα θεωρήματα και τους ορισμούς των σχολικών βιβλίων και φυσικά και σε όλα τα βοηθήματα που ακολουθούν πιστά το σχολικό βιβλίο.
Έχω κάνει ιδιαίτερη αναφορά στη διατύπωση ενός προβλήματος που αφορά τα εμβαδά καμπυλόγραμμων ή μικτόγραμμων χωρίων για τα οποία αναφέρω τα εξής:
ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ως εμβαδόν ενός τέτοιου χωρίου που περικλείεται από 3 ή περισσότερες γραμμές νοείται ΚΑΘΕ εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ 2 ή περισσοτέρων από τις δοθείσες γραμμές. Αυτό γίνεται καταφανές από τις σελίδες 227 και 228 του σχολικού βιβλίου, αλλά και από όλα τα βοηθήματα που το ακολουθούν και υπολογίζουν τέτοια εμβαδά.
Για την αποκατάσταση της τάξης, προτείνω να συμπληρώνεται η εκφώνηση ενός τέτοιου προβλήματος με τη φράση: «Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΩΣ από τις τάδε γραμμές» ή «Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από 2 ή περισσότερες από τις τάδε γραμμές». Αν η εκφώνηση ενός τέτοιου προβλήματος δεν συμπληρωθεί με τον παραπάνω τρόπο, το ερώτημα για το ποιο εμβαδόν ζητείται γίνεται ασαφές. Δηλ. ψάχνουμε κάθε εμβαδόν που περικλείεται από τις δοθείσες γραμμές ή ψάχνουμε μόνο εκείνο το εμβαδόν που περικλείεται ταυτόχρονα από όλες τις γραμμές;
Σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο, όταν δεν γίνεται αυτή η απαραίτητη διευκρίνιση, βρίσκουμε το άθροισμα όλων των εμβαδών που περικλείονται από τις δοθείσες γραμμές. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα του ερωτήματος Γ4 λοιπόν, έπρεπε να βρούμε ΟΛΑ τα εμβαδά που περικλείονται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη της cf στο σημείο x0=1, τον άξονα των x και την ευθεία x=e και όχι μόνο το εμβαδόν που περικλείεται ταυτόχρονα από τις 4 παραπάνω γραμμές.
Στις λύσεις που είδα, ο υπολογισμός του εμβαδού έγινε μόνο για το χωρίο που περικλείεται ταυτόχρονα και από τις 4 γραμμές, κάτι που δε συμφωνεί με τη λογική του σχολικού βιβλίου. Υπάρχει και εμβαδόν που περικλείεται και από τις εξής γραμμές: Τον άξονα των x, την εφαπτομένη στο σημείο x=1 και την ευθεία x=e.
Έτσι, θεωρώ ότι σωστή είναι η λύση (σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο) που υπολογίζει και αυτό το εμβαδόν κάτι που δεν είδα σε καμιά λύση.
Πιο αναλυτικές πληροφορίες σχετικές για το εν λόγω θέμα μπορείτε να δείτε στο βιντεομάθημά μου Νο 54 στη διεύθυνση:
https://www.youtube.com/watch?v=Z2UErF- ... E%AConline
καθώς και στην εισήγησή μου με τίτλο «Ολοκληρώµατα Επισηµάνσεις - ∆ιευκρινίσεις» στις σελίδες 13 και 14 στη διεύθυνση:
http://users.sch.gr/mipapagr/images/ios ... _meros.pdf
Για πολύ περισσότερες παρατηρήσεις και διευκρινίσεις στα ολοκληρώματα, υπάρχουν 5 ακόμη βιντεομαθήματά μου συνολικής διάρκειας σχεδόν 7 ωρών με τίτλους «Ολοκληρώματα: Παρατηρήσεις - Διευκρινίσεις (α), (β), (γ), (δ), (ε)»
(Στα 5 αυτά μαθήματα περιέχονται άλλες παρατηρήσεις και διευκρινίσεις που δεν σχετίζονται με το συγκεκριμένο θέμα).

mathematica.gr

Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)