Υπολογισμος άπειρου αθροίσματος

#1

Να υπολογίσετε το παρακάτω άθροισμα:

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}....$

#2

chris_gatos έγραψε: Πέμ Ιούλ 27, 2023 12:14 pm Να υπολογίσετε το παρακάτω άθροισμα:

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}$

Χρήστο, στον τίτλο του ποστ μιλάς για άπειρο άθροισμα ενώ εδώ βάζεις ένα πεπερασμένο (εκτός αν λείπουν οι τρεις τελίτσες μετά τον τελευταίο όρο).

Η άπαντηση εξαρτάται από το τι εννοείς. Αν θέλεις το πεπερασμένο άθροισμα, τότε δεν έχει κλειστή μορφή. Αν θέλεις το άπειρο άθροισμα, τότε η απάντηση είναι $\ln 2$ . Πρόκειται για την γνωστή σειρά Taylor $\ln (1+x) = x-\frac {x^2}{2} + \frac {x^3}{3} -...$ που συγκλίνει για $-1<x\le 1$ . Eδώ θέτεις x=1

σε αυτήν.

Η απόδειξή της γίνεται με διάφορους τρόπους. Π.χ. προκύπτει από ολοκλήρωση όρο προς όρο της σειράς $\dfrac {1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+...$

#3

Μιχάλη έχεις δίκιο, ζητώ συγγνώμη και διορθώνω.
Λείπουν οι τελίτσες του τέλους.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Εστω
$\displaystyle a_{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-.....+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}$
και
$\displaystyle t_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$
Είναι
$\displaystyle a_{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-.....+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=1+\frac{1}{3}.....+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2}t_{n}$
Παίρνουμε
$\displaystyle a_{n}+\frac{1}{2}t_{n}=t_{2n}-\frac{1}{2}t_{n}$
Αρα $\displaystyle a_{n}=t_{2n}-t_{n}$
Συνεχίζουμε με δύο τρόπους.
1τρόπος
Είναι γνωστό ότι $\displaystyle t_{n}-\log n\rightarrow \gamma$
Προκύπτει ότι
$\displaystyle a_{n}\rightarrow \log 2$
2τρόπος
$\displaystyle a_{n}=t_{2n}-t_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$
Χρησιμοποιώντας ολοκλήρωμα παίρνουμε ότι
$\displaystyle a_{n}\rightarrow \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx=\log 2$

Υπολογισμος άπειρου αθροίσματος

Υπολογισμος άπειρου αθροίσματος

Re: Υπολογισμος άπειρου αθροίσματος

Re: Υπολογισμος άπειρου αθροίσματος

Re: Υπολογισμος άπειρου αθροίσματος

Μέλη σε σύνδεση