Ισότητα και μεγιστοποίηση

KARKAR · #1

: Ισότητα και μεγιστοποίηση.png (12.13 KiB) Προβλήθηκε 785 φορές

Το σημείο

είναι το μέσο της βάσης BC=a

, του ισοσκελούς τριγώνου ABC , (AB=AC)

.

Τα ημικύκλια διαμέτρων AC , BM

τέμνονται και στο σημείο

. α) Δείξτε ότι : $\widehat{SCM}=\widehat{SBA}$ .

β) Υπολογίστε - συναρτήσει του

- το ύψος AM=h

, για το οποίο μεγιστοποιείται η γωνία $\phi$ .

Henri van Aubel · #2

Καλημέρα με μια λύση ...

α) Έχουμε $\angle BSC=\angle BSM+\angle MSC=90^\circ+\angle MAC=90^\circ+90^\circ-\angle B$

Οπότε $\angle SBC+\angle SCB=\angle B=\angle SBC+\angle SBA\Leftrightarrow \angle SCB=\angle SBA$ όπως θέλαμε .

β) Έχουμε $\displaystyle \frac{\sin \left ( B-\theta \right )}{\sin \varphi }=\frac{\sin \left ( B-\varphi \right )}{\sin \varphi }=\frac{\sin B}{\tan \varphi }-\cos B=\frac{\sin \angle BSM}{\sin \angle MSC}=\frac{1}{\cos B}\Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{\sin B}{\tan \varphi }=\frac{1+\cos ^{2}B}{\cos B}.$

Όμως, ως γνωστόν, έχουμε $\displaystyle \sin B=\frac{h}{\displaystyle \sqrt{h^{2}+\frac{a^{2}}{4}}}=\frac{2h}{\sqrt{4h^{2}+a^{2}}}$ και $\displaystyle \cos B=\frac{\displaystyle \frac{a}{2}}{\displaystyle \sqrt{h^{2}+\frac{a^{2}}{4}}}=\frac{a}{\sqrt{4h^{2}+a^{2}}}.$

Επομένως, θα πάρουμε ότι $\displaystyle \tan \varphi =\frac{\displaystyle \frac{2ah}{4h^{2}+a^{2}}}{\displaystyle 1+\frac{a^{2}}{4h^{2}+a^{2}}}=\frac{\displaystyle \frac{2ah}{4h^{2}+a^{2}}}{\displaystyle \frac{4h^{2}+2a^{2}}{4h^{2}+a^{2}}}=\frac{ah}{2h^{2}+a^{2}}.$

Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε την γωνία $\displaystyle \varphi \in \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$ , οπότε θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε την $\boxed{\tan \varphi =\frac{ah}{2h^{2}+a^{2}}}$

Όμως $\displaystyle \frac{1}{\tan \varphi }=\frac{2h}{a}+\frac{a}{h}^{AM-GM}\geq 2\sqrt{\frac{2h}{a}\cdot \frac{a}{h}}=2\sqrt{2}\Rightarrow \boxed{\tan \varphi \leq \frac{\sqrt{2}}{4}}$

Η ισότητα πιάνεται για $\displaystyle \boxed{h=\frac{a\sqrt{2}}{2}}$

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Αύγ 08, 2023 9:53 am Ισότητα και μεγιστοποίηση.pngΤο σημείο είναι το μέσο της βάσης , του ισοσκελούς τριγώνου .

Τα ημικύκλια διαμέτρων τέμνονται και στο σημείο . α) Δείξτε ότι : $\widehat{SCM}=\widehat{SBA}$ .

β) Υπολογίστε - συναρτήσει του - το ύψος , για το οποίο μεγιστοποιείται η γωνία $\phi$ .

: ισότητα και μεγιστοποίηση.png (29.54 KiB) Προβλήθηκε 705 φορές

Ας είναι

το κέντρο του μικρού ημικυκλίου και BC = a = 4

( χωρίς βλάβη της γενικότητας).

α)Το τετράπλευρο ASMC

είναι εγγεγραμμένο και η

είναι εφαπτομένη του μικρού ημικυκλίου οπότε:

$\widehat {x_{}^{}} = \widehat {y_{}^{}} = \widehat {z_{}^{}}$ και λόγω του ισοσκελούς $\vartriangle ABC$ , $\widehat {x_{}^{}} + \widehat {\phi _{}^{}} = \widehat {z_{}^{}} + \widehat {\theta _{}^{}}$ , συνεπώς: $\widehat {\phi _{}^{}} = \widehat {\theta _{}^{}}$

β) Η γωνία $\omega$ κατά συνέπεια και η γωνία $\theta = \phi$ γίνεται μέγιστη όταν τα σημεία A,S,K

ανήκουν στην ίδια ευθεία.
.

: Ισότητα και μεγιστοποίηση_Κατασκευή.png (27.02 KiB) Προβλήθηκε 705 φορές

.
Τότε $KA = KC = 3 \Rightarrow AM = SC = \sqrt {9 - 1} = 2\sqrt 2$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Τρί Αύγ 08, 2023 9:53 am Ισότητα και μεγιστοποίηση.pngΤο σημείο είναι το μέσο της βάσης , του ισοσκελούς τριγώνου .

Τα ημικύκλια διαμέτρων τέμνονται και στο σημείο . α) Δείξτε ότι : $\widehat{SCM}=\widehat{SBA}$ .

β) Υπολογίστε - συναρτήσει του - το ύψος , για το οποίο μεγιστοποιείται η γωνία $\phi$ .

A)Επειδή

εφαπτόμενη του ημικυκλίου,προφανώς οι γωνίες $\omega$ είναι ίσες και

$\angle \omega + \phi = \angle \theta + \omega = \angle Β \Rightarrow \phi = \theta$

B) Αν $BS \cap (e)=Q$ το AQCM

είναι ορθογώνιο,άρα AM=QC=h

και

$tan \omega = \dfrac{h}{a}$ .

Ακόμη

$tan B= \dfrac{h}{ \dfrac{a}{2} } =\dfrac{2h}{a}$

Με $tan \phi =x$ από $tanB=tan( \omega + \phi )= \dfrac{tan \omega +tan \phi }{1-tan \omega tan \phi }$ παίρνουμε

$tan \phi =x= \dfrac{1}{ \dfrac{a}{h}+2 \dfrac{h}{a} }$

Αρκεί λοιπόν να γίνει ελάχιστη η παράσταση $\dfrac{a}{h}+2 \dfrac{h}{a}$

Αλλά $\dfrac{a}{h}.2 \dfrac{h}{a}=2$ .Άρα $\dfrac{a}{h}+2 \dfrac{h}{a}$ γίνεται ελάχιστη όταν

$\dfrac{a}{h} = \dfrac{2h}{a} \Rightarrow h= \dfrac{a \sqrt{2} }{2}$

: Ισότητα και μεγιστοποίηση.png (18.96 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

Ισότητα και μεγιστοποίηση

Ισότητα και μεγιστοποίηση

Re: Ισότητα και μεγιστοποίηση

Re: Ισότητα και μεγιστοποίηση

Re: Ισότητα και μεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση