Μηδενική συνάρτηση

Tolaso J Kos · #1

Έστω

συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα $[\alpha, \beta]$ . Αν για οποιαδήποτε συνάρτηση

στο $[\alpha, \beta]$ με $g(\alpha) = g(\beta) =0$ είναι $\int_{\alpha}^{\beta} f(x) g(x) \, \mathrm{d}x = 0$ , να δειχθεί ότι f(x)=0

για κάθε $x \in [\alpha, \beta]$ .

giannispapav · #2

Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση $g(x)=f(x)(x-\alpha)^2(x-\beta)^2$ για την οποία ισχύει $g(\alpha)=g(\beta)=0$ .

Τότε $\int\limits_{\alpha}^{\beta}f(x)g(x)dx=0 \Rightarrow \int\limits_{\alpha}^{\beta}\big(f(x)(x-\alpha)(x-\beta)\big)^2dx=0$ άρα

$f(x)(x-\alpha)(x-\beta)=0$ για κάθε $x\in [\alpha,\beta]$ οπότε f(x)=0

για κάθε $x\in (\alpha,\beta)$ . Λόγω συνέχειας, είναι f(x)=0

για κάθε $x\in [\alpha,\beta]$ .

BAGGP93 · #3

Όμορφη άσκηση και ακόμα πιο όμορφη η λύση.

#4

BAGGP93 έγραψε: Σάβ Σεπ 30, 2023 10:02 am Όμορφη άσκηση και ακόμα πιο όμορφη η λύση.

Υπόψη ότι ισχύει το συμπέρασμα σε πολύ ευρύτερο πλάισιο, αλλά η λύση είναι εκτός σχολικής ύλης. Για παράδειγμα μπορούμε να πάρουμε την

να είναι πολυώνυμο. Το είδαμε αυτό εδώ, βλέπε ποστ #2.

Μηδενική συνάρτηση

Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση