mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 12, 2023 6:57 pm**

: 202.png (11.29 KiB) Προβλήθηκε 950 φορές

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο, το σημείο

έγκεντρο αυτού και
το σημείο

κέντρο κύκλου που διέρχεται από τα

και

. Αν ο κύκλος (O)

τέμνει την

στο

και την

στο

, δείξτε ότι $DB+EC=2\cdot DE\cdot \sigma \upsilon \nu \theta$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 13, 2023 9:46 am**

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Κυρ Νοέμ 12, 2023 6:57 pm 202.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, το σημείο έγκεντρο αυτού και
το σημείο κέντρο κύκλου που διέρχεται από τα και . Αν ο κύκλος τέμνει την
στο και την στο , δείξτε ότι $DB+EC=2\cdot DE\cdot \sigma \upsilon \nu \theta$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 13, 2023 11:02 am**

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Κυρ Νοέμ 12, 2023 6:57 pm 202.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, το σημείο έγκεντρο αυτού και
το σημείο κέντρο κύκλου που διέρχεται από τα και . Αν ο κύκλος τέμνει την
στο και την στο , δείξτε ότι $DB+EC=2\cdot DE\cdot \sigma \upsilon \nu \theta$ .

Έστω

η πλευρά του ισοπλεύρου και

το μέσο του AI.

Φέρνω από τα D, E

παράλληλες στις AC, AB

που

τέμνονται στο

Επειδή τα

είναι ισόπλευρα και το ADKE

παραλληλόγραμμο, τα σημεία

είναι συνευθειακά. Άρα, DB+EC=a.

: Έχει και τριγωνομετρία.Φ.png (17.19 KiB) Προβλήθηκε 884 φορές

Εξάλλου $DE=r\sqrt 3,$ όπου

η ακτίνα του κύκλου.

$\displaystyle \cos \theta = \frac{{AI}}{{2r}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{6r}} \Rightarrow 2DE\cos \theta = 2r\sqrt 3 \frac{{a\sqrt 3 }}{{6r}}=a,$ απ' όπου $\boxed{DB + E C= 2DE\cos \theta}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 13, 2023 3:20 pm**

Αλλιώς.

Είναι $\displaystyle \frac{DB+EC}{DI}=\frac{DB}{DI}+\frac{EC}{DI}$ και $\widehat{IDE}=\widehat{IAE}=\widehat{IAD}=\widehat{IED}$ από το εγγράψιμο AEID

και συνεπώς $\displaystyle EI=DI\Longrightarrow\frac{DB+EC}{DI}=\frac{DB}{DI}+\frac{EC}{EI}\left ( 1 \right )$ . Εξάλλου, $\widehat{DBI}=30^\circ$ και $\widehat{BID}=\widehat{ADI}-\widehat{DBI}=90^\circ-\theta -30^\circ=60^\circ-\theta$ , άρα από νόμο τον ημιτόνων στο $\displaystyle B\overset{\bigtriangleup }ID:\frac{BD}{DI}=\frac{\sin \left ( 60^\circ-\theta \right )}{\sin 30^\circ}=2\sin \left ( 60^\circ-\theta \right )\left ( 2 \right )$ και ομοίως βρίσκουμε $\displaystyle \frac{EC}{EI}=\frac{\sin \left ( 60^\circ+\theta \right )}{\sin 30^\circ}=2\sin \left ( 60^\circ+\theta \right )\left ( 3 \right )$ . Από τις σχέσεις (2) και (3) καταλήγουμε στην $\displaystyle \frac{BD+EC}{DI}=2\sin \left ( 60^\circ+\theta \right )+2\sin \left ( 60^\circ-\theta \right )=2\sqrt{3}\cos \theta$ και αφού $\displaystyle \frac{DI}{DE}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Longrightarrow\boxed{\frac{DB+EC}{DE}=2\cos \theta }$ .

mathematica.gr

Έχει και τριγωνομετρία.

Έχει και τριγωνομετρία.

Re: Έχει και τριγωνομετρία.

Re: Έχει και τριγωνομετρία.

Re: Έχει και τριγωνομετρία.