Παράξενη ισότητα τμημάτων

KARKAR · #1

: Παράξενη ισότητα.png (15.67 KiB) Προβλήθηκε 1100 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, φέραμε το ύψος

προς την υποτείνουσα

και την διχοτόμο

,

τα οποία τέμνονται στο σημείο

. Σχεδιάσαμε το τετράγωνο AEHZ

και (πώς ; ) ημικύκλιο με διάμετρο

επί της

, το οποίο διέρχεται από την κορυφή

. Δείξτε ότι τα τμήματα

και

είναι ίσα .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 15, 2023 12:32 pm
Παράξενη ισότητα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , φέραμε το ύψος προς την υποτείνουσα και την διχοτόμο ,

τα οποία τέμνονται στο σημείο . Σχεδιάσαμε το τετράγωνο και (πώς ; ) ημικύκλιο με διάμετρο

επί της , το οποίο διέρχεται από την κορυφή . Δείξτε ότι τα τμήματα και είναι ίσα .

Η λύση που έχω είναι υπολογιστική . Θα την γράψω αν δεν βρώ κάτι πιο απλό .

Λύση
Πρώτα- πρώτα είναι γνωστό ότι το $\vartriangle AES$ είναι ισοσκελές με βάση το

.

(Οι γωνίας στη βάση του είναι κάθε μια ίση με το άθροισμα: $\dfrac{B}{2} + C$ ).

Θέτω AE = EH = HZ = ZA = AS = AE = k

. Ενώ , $TE = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SD = y$

Από Θ. διχοτόμου και εμβαδό του $\vartriangle ABC$ , έχω :

$k = AE = \dfrac{{bc}}{{a + c}}\,\,\,\left( 1 \right)$ . Επειδή $bc = aAD \Rightarrow AD = \dfrac{{bc}}{a}\,\,\left( 2 \right).$ $EC = \dfrac{{ab}}{{a + c}}\,\,\,\left( 3 \right)$ .

Από το $\vartriangle HTC$ : ${k^2} = xEC$ που λόγω των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\left( 3 \right)$ δίδει:
.

: Παράξενη ισότητα τμημάτων.png (23.43 KiB) Προβλήθηκε 1062 φορές

.
$\dfrac{{{b^2}{c^2}}}{{{{\left( {a + c} \right)}^2}}} = x\dfrac{{ab}}{{\left( {a + c} \right)}} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{b{c^2}}}{{a\left( {a + c} \right)}}}\,\,\left( * \right)$

Επειδή , $y = SD = AD - AS = \dfrac{{bc}}{a} - k = \dfrac{{bc}}{a} - \dfrac{{bc}}{{a + c}} = bc\left( {\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{{a + c}}} \right)$ και άρα :

$\boxed{y = \dfrac{{b{c^2}}}{{a\left( {a + c} \right)}}}\,\,\,\left( { * * } \right)$ . Από τις $\left( * \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( { * * } \right)$ έχω: x = y

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 15, 2023 12:32 pm
Παράξενη ισότητα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , φέραμε το ύψος προς την υποτείνουσα και την διχοτόμο ,

τα οποία τέμνονται στο σημείο . Σχεδιάσαμε το τετράγωνο και (πώς ; ) ημικύκλιο με διάμετρο

επί της , το οποίο διέρχεται από την κορυφή . Δείξτε ότι τα τμήματα και είναι ίσα .

Ας δούμε και μια διαφορετική προσέγγιση του προβλήματος

: Παράξενη ισότητα.png (24.8 KiB) Προβλήθηκε 1034 φορές

Προφανώς το ημικύκλιο κατασκευάζεται φέρνοντας $HT\bot HC,T\in AC$ και ας είναι $SK\bot AB$
Από το ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle THC\left( \angle THC={{90}^{0}} \right)\overset{HE\bot TC}{\mathop{\Rightarrow }}\,H{{E}^{2}}=TE\cdot EC$ $\overset{HE=AE(\alpha \pi o\,\,\tau o\,\,\tau \varepsilon \tau \rho \alpha \gamma \omega \nu o)}{\mathop{\Rightarrow }}\,A{{E}^{2}}=TE\cdot EC\Rightarrow \dfrac{TE}{AE}=\dfrac{AE}{EC}:\left( 1 \right)$ Με

σημείο της διχοτόμου $BE\Rightarrow SD=SK,BK=BD:\left( 2 \right)$
Από $SK\parallel AE$ (κάθετες στην $AB\Rightarrow \dfrac{SK}{AE}=\dfrac{BK}{AB}\overset{\left( 2 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{SD}{AE}=\dfrac{BD}{AB}\overset{\vartriangle BDA\sim \vartriangle BAC}{\mathop{=}}\,\dfrac{AB}{BC}\overset{\Theta .\delta \iota \chi o\tau o\mu o\upsilon }{\mathop{=}}\,\dfrac{AE}{EC}\Rightarrow \dfrac{SD}{AE}=\dfrac{AE}{EC}:\left( 3 \right)$
Από $\left( 1 \right),\left( 3 \right)\Rightarrow \dfrac{TE}{AE}=\dfrac{SD}{AE}\Rightarrow TE=SD$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 15, 2023 12:32 pm
Παράξενη ισότητα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , φέραμε το ύψος προς την υποτείνουσα και την διχοτόμο ,

τα οποία τέμνονται στο σημείο . Σχεδιάσαμε το τετράγωνο και (πώς ; ) ημικύκλιο με διάμετρο

επί της , το οποίο διέρχεται από την κορυφή . Δείξτε ότι τα τμήματα και είναι ίσα .

Με $EI \bot AC \Rightarrow EI=AE$ και BI=BA=c

$HE^2=AE^2=y.EC \Rightarrow \dfrac{y}{AE}= \dfrac{AE}{EC}$ και $\dfrac{x}{EI} = \dfrac{BD}{BI}= \dfrac{BD}{c} \Rightarrow \dfrac{x}{AE}=\dfrac{BD}{c}$

Θα αποδείξουμε λοιπόν ότι $\dfrac{BD}{c} = \dfrac{AE}{EC} \Leftrightarrow \dfrac{BD}{c}= \dfrac{c}{a} \Leftrightarrow c^2=BD.a$ αληθής, άρα x=y

: παράξενη ισότητα.png (42.09 KiB) Προβλήθηκε 996 φορές

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 15, 2023 12:32 pm
Παράξενη ισότητα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , φέραμε το ύψος προς την υποτείνουσα και την διχοτόμο ,

τα οποία τέμνονται στο σημείο . Σχεδιάσαμε το τετράγωνο και (πώς ; ) ημικύκλιο με διάμετρο

επί της , το οποίο διέρχεται από την κορυφή . Δείξτε ότι τα τμήματα και είναι ίσα .

Φέρνω

και η

τέμνει την

στο

Είναι

άρα το

είναι ρόμβος.

: ΠΙΤ.png (17.36 KiB) Προβλήθηκε 926 φορές

Εξάλλου, $\displaystyle \frac{{FS}}{{SG}} = \frac{{AE}}{{EC}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{SG = AE} A{E^2} = FS \cdot EC \Leftrightarrow H{E^2} = FS \cdot EC \Leftrightarrow$

$\displaystyle TE \cdot EC = FS \cdot EC \Leftrightarrow$ $\boxed{TE=FS=SD}$

Παράξενη ισότητα τμημάτων

Παράξενη ισότητα τμημάτων

Re: Παράξενη ισότητα τμημάτων

Re: Παράξενη ισότητα τμημάτων

Re: Παράξενη ισότητα τμημάτων

Re: Παράξενη ισότητα τμημάτων

Μέλη σε σύνδεση