Ανισότητα με λογάριθμο

giannispapav · #1

Να δείξετε ότι ισχύει $\dfrac{\alpha+\beta}{2\alpha\beta}>\dfrac{\ln{\beta}-\ln{\alpha}}{\beta-\alpha}$ για κάθε $0<\alpha<\beta$ .

#2

giannispapav έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 18, 2023 11:58 am
Να δείξετε ότι ισχύει $\dfrac{\alpha+\beta}{2\alpha\beta}>\dfrac{\ln{\beta}-\ln{\alpha}}{\beta-\alpha}$ για κάθε $0<\alpha<\beta$ .

Ισοδύναμα $\displaystyle{ \dfrac {b^2-a^2}{2ab} > \ln \dfrac {b}{a} }$ . Γράφοντας $x = \dfrac {b}{a} >1$ , θέλουμε $\displaystyle{ \dfrac {x^2-1}{2x} > \ln x }$ .

H $f(x) = \dfrac {x^2-1}{2x} - \ln x$ ικανοποιεί $f' (x) = \dfrac {x^2+1-2x}{2x^2} = \dfrac {(x-1)^2}{2x^2}>0$ . Άρα η

είναι γνήσια αύξουσα στο $[1, \, \infty)$ , οπότε f(x) > f(1)= 0

, από όπου το αποδεικτέο.

Ανισότητα με λογάριθμο

Ανισότητα με λογάριθμο

Re: Ανισότητα με λογάριθμο

Μέλη σε σύνδεση