Ορισμένο ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Είχε προταθεί πριν λίγες μέρες η ακόλουθη άσκηση ... αλλά μετά κατέβηκε. Τη ξανά θέτω γιατί δε μπόρεσα να βρω λύση.

Έστω $f:[-1, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε

$\displaystyle{f(x) = \sqrt{1-x^2} + x^2 f \left (x^2 \right) \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in [-1, 1]}$
Να υπολογιστεί το $\int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x$ .

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά. (;)

Dimessi · #3

Τόλη είναι απλό .
Κτυπάμε την αρχική με τα $x^{2^{k}}$ διαδοχικά και έχουμε
$\displaystyle f\left ( x \right )=\sqrt{1-x^{2}}+x^{2}\sqrt{1-x^{4}}+x^{6}\sqrt{1-x^{8}}+x^{14}\sqrt{1-x^{16}}+...=\sqrt{1-x^{2}}+\sum_{n=1}^{\infty}x^{2^{n+1}-2}\sqrt{1-x^{2^{n+1}}}$
με τη δυναμοσειρά να συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0,1]

(εύκολο με το Μ-test του Weirstrass)
οπότε
$\displaystyle I=\int \limits_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx+\sum_{n=1}^{\infty}\int \limits_{0}^{1}x^{2^{n+1}-2}\sqrt{1-x^{2^{n+1}}}dx$
Η αλλαγή μεταβλητής
$\displaystyle x^{2^{n+1}}=t\Longrightarrow x=t^{\frac{1}{2^{n+1}}}\Longrightarrow dx=\frac{1}{2^{n+1}}t^{\frac{1}{2^{n+1}}-1}dt$
δίνει
$\displaystyle J_{n}=\frac{1}{2^{n+1}}\int \limits_{0}^{1}t^{\frac{2^{n+1}-2}{2^{n+1}}}t^{\frac{1}{2^{n+1}}-1}\sqrt{1-t}dt=\frac{1}{2^{n+1}}\int \limits_{0}^{1}t^{-\frac{1}{2^{n+1}}}\sqrt{1-t}dt=\frac{1}{2^{n+1}}B\left ( 1-\frac{1}{2^{n+1}},\frac{3}{2} \right )$
οπότε
$\displaystyle I=\frac{\pi }{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n+1}}B\left ( 1-\frac{1}{2^{n+1}},\frac{3}{2} \right )$ που είναι στοιχειώδες

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση