Κοίλη συνάρτηση

Dimessi · #1

Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ μια δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο , για την οποία ισχύουν:
$f\left ( 1 \right )=1$
$f{'}\left ( 1 \right )=0$
$f{''}\left ( x \right )\neq 0,\forall x\in \mathbb{R}$ και
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f\left ( x \right )\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x-1}{x}=0.$

(α) Να αποδείξετε ότι η

είναι κοίλη.
(β) Να λύσετε την ανίσωση $f{'}\left ( 2f\left ( x \right )-1 \right )\leqslant 0.$
(γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

και $g:g\left ( x \right )=x,x\in \mathbb{R}.$

BAGGP93 · #2

Καλημέρα.

(α) Η συνέχεια της $f^{\prime \prime}$ και το γεγονός ότι δεν μηδενίζεται πουθενά στο $\mathbb{R}$ μας δίνει ότι διατηρεί πρόσημο.

Άρα η

είναι είτε κυρτή ή κοίλη. Ας υποθέσουμε, προς άτοπο, ότι η

είναι κυρτή. Τότε η γραφική της παράσταση θα είναι πάνω από την

εφαπτομένη της στο A(1,f(1)

, οπότε $f(x)\geq 1$ για όλα τα $x\in\mathbb{R}.$ Ωστόσο, λόγω συνέχειας στο x=0

και εκμεταλλευόμενοι το όριο βρίσκουμε

$\displaystyle{0=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)\,\eta \mu\,x+\sigma \upsilon \nu\,x-1}{x}=\lim_{x\to 0}\left[f(x)\,\frac{\eta \mu\,x}{x}+\frac{\sigma \upsilon \nu\,x-1}{x}\right]=f(0)\cdot 1+0=f(0)}$

και εδώ είναι το άτοπο. Ώστε,

κοίλη στο $\mathbb{R}.$

(β) Η $f^\prime$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ με μοναδική ρίζα το x=1

. Άρα

$\displaystyle{f^\prime(x)<0\iff x>1,\,\,\,f^\prime(1)=0,\,\,\,f^\prime(x)>0\iff x<1}$ που σημαίνει ότι η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left[1,+\infty\right)$ , είναι

γνησίως αύξουσα στο $\left(-\infty,1\right]$ και παρουσιάζει μοναδικό (ολικό μέγιστο) ακρότατο στο x=1

.

Συνεπώς για κάθε $x\in\mathbb{R}$ έχουμε

$\displaystyle{f^{\prime}(2\,f(x)-1)\leq 0\iff f^\prime(2\,f(x)-1)\leq f^\prime(1)\iff 2\,f(x)-1\geq 1\iff f(x)\geq 1\iff x=1}$

διότι λόγω κοιλότητας ισχύει $f(x)\leq 1$ για όλα τα $x\in\mathbb{R}$ με ισότητα να πιάνεται μόνο για χ=1.

(γ) Θεωρούμε $h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-x,\,\,x\in\mathbb{R}$ η οποία είναι δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη με

$\displaystyle{h^{\prime \prime}(x)=f^{\prime \prime}(x)<0,\,\,\forall\,x\in\mathbb{R}.}$

Από γνωστά στη θεώρημα Rolle, η συνάρτηση

έχει το πολύ δύο ρίζες. Προφανείς ωστόσο είναι οι $x=0,\,\,x=1$ και άρα δύο ακριβώς ρίζες

για την

. Γεωμετρικά οι $C_{f},\,\,C_{g}$ τέμνονται ακριβώς σε δύο σημεία.

Dimessi · #3

Πολύ κομψή λύση!

Βάζω και την δική μου.

(α) Η

είναι συνεχής στο

άρα $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f\left ( x \right )=f\left ( 0 \right )$ και αφού $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\eta \mu x}{x}=1,$ άρα $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\left [ f\left ( x \right )\cdot \frac{\eta \mu x}{x}+\frac{\sigma \upsilon \nu x-1}{x} \right ]=f\left ( 0 \right )+0=0\Rightarrow f\left ( 0 \right )=0.$ Η

είναι συνεχής στο $\left [ 0,1 \right ]$ και παραγωγίσιμη στο $\left ( 0,1 \right ),$ άρα από ΘΜΤ υπάρχει $\xi \in \left ( 0,1 \right )$ με $\displaystyle f{'}\left ( \xi \right )=\frac{f\left ( 1 \right )-f\left ( 0 \right )}{1-0}=1> f{'}\left ( 1 \right )$ και $\xi < 1,$ άρα η f{'}

δεν είναι αύξουσα στο $\mathbb{R}$ . Η f{''}

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ και δεν έχει πραγματικές ρίζες, άρα από τις συνέπειες του Θ. Bolzano η f{''}

διατηρεί πρόσημο στο $\mathbb{R}$ , άρα η f{'}

είναι γνησίως μονότονη και αφού δεν είναι αύξουσα, άρα είναι γνησίως φθίνουσα και η

είναι κοίλη.

(β) Η f{'}

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ και η ανίσωση που είναι $f{'}\left ( 2f\left ( x \right )-1 \right )\leqslant f{'}\left ( 1 \right )$ γίνεται $2f\left ( x \right )-1\geqslant 1\Leftrightarrow f\left ( x \right )\geqslant 1.$ Η εξίσωση εφαπτομένης της $C_{f}$ στο σημείο της $\left ( 1,f\left ( 1 \right ) \right )$ είναι $y-f\left ( 1 \right )=f{'}\left ( 1 \right )\cdot \left ( x-1 \right )\Leftrightarrow y=1$ και η

είναι κοίλη στο $\mathbb{R},$ άρα $f\left ( x \right )\leqslant 1,\forall x\in \mathbb{R},$ με την ισότητα μόνο για x=1

και συνεπώς η ανίσωση έχει μόνη λύση την $\boxed{x=1}.$

(γ) Θεωρούμε την συνάρτηση $h\left ( x \right )=f\left ( x \right )-x,x\in \mathbb{R}.$ Η

είναι παραγωγίσιμη με $h{'}\left ( x \right )=f{'}\left ( x \right )-1=f{'}\left ( x \right )-f{'}\left ( \xi \right ),\forall x\in \mathbb{R}.$ Αφού η f{'}

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R},$ ισχύουν οι ισοδυαναμίες:
$h{'}\left ( x \right )> 0\Leftrightarrow x< \xi$
$h{'}\left ( x \right )< 0\Leftrightarrow x> \xi$
$h{'}\left ( x \right )=0\Leftrightarrow x=\xi$
Άρα, η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\left ( -\infty,\xi \right ]$ και γνησίως φθίνουσα στο $\left [ \xi ,+\infty \right ),$ άρα η

έχει το πολύ δύο ρίζες στο $\mathbb{R}.$ Όμως $h\left ( 0 \right )=h\left ( 1 \right )=0,$ άρα η

έχει μοναδικές ρίζες τις

και

Τα ζητούμενα σημεία είναι τα $\displaystyle \boxed{A\left ( 0,0 \right )}$ και $\boxed{B\left ( 1,1 \right )}.$

Σημείωση Για το γεγονός ότι f{''}

διατηρεί πρόσημο στο $\mathbb{R}$ δεν χρειάζεται η συνέχεια της δεύτερης παραγώγου. Είναι η συνέπεια του Θ. Darboux. Αλλά για Γ λυκείου το έδωσα έτσι.

Κοίλη συνάρτηση

Κοίλη συνάρτηση

Re: Κοίλη συνάρτηση

Re: Κοίλη συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση