Να βρεθεί ένα ιδιοδιάνυσμα

[stelmarg]

Καλησπέρα σας θέλω μια βοήθεια γιατί δεν μπορώ να βρω το ιδιοδιάνυσμα στην παρακάτω άσκηση.
Έχω βρει την ιδιοτιμη λ=1

Έστω ένας S ένας τετραγωνικός πίνακας n*n με όλα του τα στοιχεία μη μηδενικά. Το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής είναι ίσα με 1. Να βρείτε μια ιδιοτιμή και ένα ιδιοδιάνυσμα του πίνακα S καθώς και ένα για τον

[Mihalis_Lambrou]

Καλησπέρα σας θέλω μια βοήθεια γιατί δεν μπορώ να βρω το ιδιοδιάνυσμα στην παρακάτω άσκηση.
Έχω βρει την ιδιοτιμη λ=1

Έστω ένας S ένας τετραγωνικός πίνακας n*n με όλα του τα στοιχεία μη μηδενικά. Το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής είναι ίσα με 1. Να βρείτε μια ιδιοτιμή και ένα ιδιοδιάνυσμα του πίνακα S καθώς και ένα για τον

Θα το κάνω με ισχυρή υπόδειξη.

α) Εξέτασε το διάνυσμα (στήλη με όρους)

β) Για τον . Αν ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή , δείξε ότι το
είναι επίσης ιδιοδυάνυσμα του . Σε ποια ιδιοτιμή αντιστοιχεί;

[stelmarg]

Ευχαριστώ πολύ κύριε Μιχάλη, το κατάλαβα!!!

[mick7]

Noμιζω οτι για πίνακα με τις ίδιες υποθέσεις ισχύει ότι αν το άθροισμα των γραμμών του είναι ίδιο τότε το άθροισμα είναι ιδιοτιμη.

[Mihalis_Lambrou]

Noμιζω οτι για πίνακα με τις ίδιες υποθέσεις ισχύει ότι αν το άθροισμα των γραμμών του είναι ίδιο τότε το άθροισμα είναι ιδιοτιμη.

Σωστά. Ας το δούμε: Αν το σταθερό άθροισμα των γραμμών, τότε αμέσως βλέπουμε ότι για το διάνυσμα που έγραψα στο ποστ #2 έχουμε

.

Δηλαδή βρήκαμε συγχρόνως ιδιοτιμή (την ) και ιδιοδιάνυσμα.

Η γενίκευση αυτή είναι a priori αναμενόμενη γιατί αν ένας πίνακας με σταθερό άθροισμα γραμμών ίσο με , τότε ο έχει σταθερό άθροισμα γραμμών ίσο με , οπότε εμπίπτουμε στην προηγούμενη περίπτωση. Τα υπόλοιπα άμεσα από την γραμμικότητα.